第二章第2讲-冲激响应与阶跃响应

信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]1、单位冲激响应：以单位冲激信号(t)作激励时，系统产生的零状态响应，以h(t)表示。2、单位阶跃响应：以单位阶跃信号u(t)作激励，系统产生的零状态响应，以g(t)表示。冲激响应与阶跃响应都是零状态响应。h(t)与g(t)的关系：dttdgth)()(tdhtg0)()(用冲激响应分析线性系统的方法更常用。2.5冲激响应与阶跃响应信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]由于任意信号可以用冲激信号的组合表示，即dthedtHedteHteHtr)()()]([)(])()([))(()(dtete)()()(将其作用于冲激响应为h(t)的线性时不变系统：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail])()()()()()()()(1111011110teEdttdeEdttedEdttedEtrCdttdrCdttrdCdttrdCmmmmmmnnnnnn系统方程为：一、确定h(t)中的冲激函数及导数项当激励e(t)=(t)时，系统的零状态响应为h(t)，则系统微分方程为：)()()()()()()()(1111011110tEdttdEdttdEdttdEthCdttdhCdtthdCdtthdCmmmmmmnnnnnn冲激响应h(t)的求法信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]用方程左右两端奇异函数平衡的原则，左边最高阶对应右边最高阶。第一、h(t)的形式将与m,n值的相对大小密切相关1、n=m+1，则dttdh)(对应),(t而h(t)不包含(t)及其各级导数2、n=m，则h(t)包含(t)项3、nm，则h(t)包含(t)项及其导数项信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]第二、h(t)与零输入响应具有相同的形式。（因为t0+时，(t)及其各级导数均为0，方程右端恒为0。）二、确定冲激响应h(t)的函数形式当nm时，nitituekthi1)()(当n＝m时，)()()(11tktuekthnnitii当nm时，h(t)中还应包含(t)的导数信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]三、确定h(t)中的系数ki将h(t)及其各阶导数代入系统方程左端，(t)及其各级导数代入方程右端，令对应项系数相等。信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]例：系统微分方程为)(2)()(3)(4)(22tedttdetrdttdrdttrd试求其冲激响应。解：n=2，m=1所以h(t)中不包含(t)。特征方程为：03423,121冲激响应为：)()()(321tuekekthtt信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]对h(t)求各阶导数：)()3()()()(321321tuekektekekdttdhtttt)()3()()(32121tuekektkktt)()3()()9()()()(32132132122tekektuekektekekdtthdtttttt)()9()()3()()(3212121tuekektkktkktt信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]将r(t)=h(t)及e(t)=(t)代入给定微分方程)(2)()()3()()(2121tttkktkk2312121kkkk21,2121kk)()(21)(3tueethtt信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]零状态响应1、任意信号可分解为冲激信号的线性组合nktktttkete0)()()(2、系统的零状态响应)()(thtnkzstkthttketr0)()()(对于线性时不变系统)()(00ttkhttk信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]tzsdthetr0)()()()()(thte当t0时，td，kttdtete0)()()(nktktttkete0)()()(nkzstkthttketr0)()()(信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]3、系统的全响应：)()()(trtrtrzszi)()(1tetheCnitii零输入响应零状态响应信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]例:如图所示电路，)()1()(3tuetet电容上的初始电压为Vuc2)0(，求)(tuc)(teR)(tuc)(tiC解：列写微分方程)()()(tetudttduRCcc代入元件值：R=1,C=1F)()()(tetudttducc信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]特征方程0111、零输入响应为：)()(1tueCtutczi)(2)(tuetutczi2、零状态响应：先求电路的冲激响应)()(tuketht)()()(tuketkethtt)()()(tetudttducc代入初始条件：21Cvuc2)0(可得：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]将h(t)、h’(t)和(t)代入微分方程两端)()(ttket)()()()(ttuketuketkettt1k即)()(tuetht)()()()(thtetutrzsczs)()()1(3tuetuett)()()(tetudttducc信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail])()21211()(]2[)(][)(])1([)()()(3020020)(0)(3||tueetueeeetudeedetudeethtetrttttttttttttzs信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]所以全响应为：)()21211()(2)()()(3tueetuetutututttccczszi若用经典法求解)()211()(23)(3tuetuetuttc信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail])()211()(233tuetuett自由响应受迫响应)()()2123(3tutueett稳态响应暂态响应)()21211()(2)(3tueetuetutttc零输入响应零状态响应信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]暂态响应：随时间增长而衰减消失的部分。稳态响应：随时间增长仍继续存在并趋于稳定的部分。全响应=零输入响应+零状态响应=自然响应+受迫响应=暂态响应+稳态响应系统的响应信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]完全响应零输入响应零状态响应自然响应受迫响应暂态响应稳态响应信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]小结时域分析法：直接在时间域内对系统进行分析的方法。其方法有两种：经典法零输入和零状态法信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]特解（受迫响应）：特解的形式由激励决定，特解的系数是由激励与系统共同决定的。齐次解（自然响应）：齐次解的形式只与系统本身的特性有关，但其待定系数的确定是由激励和系统的初始状态共同决定的。1、时域经典法：信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]全响应=零输入响应+零状态响应=自然响应+受迫响应=暂态响应+稳态响应2.零输入和零状态法零状态响应：时域卷积法零输入响应：经典法（系数由0-初始条件确定）)()()(thtetrzs信号与系统同济大学汽车学院魏学哲[e-mail]求冲激响应零状态响应建立系统微分方程求特征方程的根求零输入响应系统全响应