1.4.1曲边梯形面积与定积分

曲边梯形面积与定积分数学组①曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。Oxyaby=f(x)一.求曲边梯形的面积x=ax=b用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1AA1.AA1+A2用两个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2AA1+A2+A3+A4用四个矩形的面积近似代替曲边梯形的面积A，得y=f(x)baxyOA1A2A3A4将曲边梯形分成n个小曲边梯形，并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近似为y=f(x)baxyOAA1+A2++AnA1AiAn构造思想：以直代曲,无限逼近例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。1n2nknnn'211122222233111()()111211101(12(1))1(1)(21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxOy解:把底边[0,1]分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线,这样曲边三角形被分成n个窄条,用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来,得到一个近似值:2xy因此,我们有理由相信,这个曲边三角形的面积为:lim111lim1261.3nnnSSnn小结:求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。（1）分割（2）近似代替把这些矩形面积相加作为整个曲边形面积S的近似值。（4）取极限oxy(3)求和3.求由连续曲线yf(x)对应的曲边梯形面积的方法(2)以直代曲:任取xi[xi1,xi]，第i个小曲边梯形的面积用高为f(xi),宽为x的小矩形面积f(xi)x近似地去代替.(4)逼近:所求曲边梯形的面积S为(3)作和:取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积S的近似值：xi-1y=f(x)xyObaxixix10,()()niixfxSnx1()niiSfxx(1)分割:在区间[a,b]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成n个小区间:每个小区间宽度⊿xban11211,,,,,,,,,iinaxxxxxxb11()()nnniiiibaSfxxfxn小矩形面积和如果当n+∞时，Sn就无限接近于某个常数，这个常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作baf(x)dx，即baf(x)dxni10limf(xi)xi。从求曲边梯形面积S的过程中可以看出,通过“四个步骤”:分割---以直代曲----求和------逼近.①定义：设函数y=f(x)定义在区间[a,b]上,将区间[a,b]分成n个小区间,每个小区间的长度为△xi,记λ为这些小区间长度的最大者，当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个区间上任取一点,依次为ξ1,ξ2,…ξi,…ξn.作和In=f(ξ1)△x1+f(ξ2)△x2+…+f(ξi)△xi+…+f(ξn)△xn,如果λ无限趋近于0(亦即n趋向于+∞)时,In无限趋近于常数S,那么称该常数为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作()baSfxdx二、定积分的定义baIdxxf)(iinixf)(lim10x被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限②定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)dx—叫做被积表达式，f(x)——叫做被积函数,x———叫做积分变量，a———叫做积分下限，b———叫做积分上限，[a,b]—叫做积分区间。()baSfxdx被积函数被积表达式积分变量积分下限积分上限()baSfxdxSbaf(x)dx；按定积分的定义，有由连续曲线yf(x)(f(x)0)，直线xa、xb及x轴所围成的曲边梯形的面积为112001()3Sfxdxxdx根据定积分的定义右边图形的面积为1xyOf(x)=x213Sbaf(x)dxbaf(t)dtbaf(u)du。说明：(1)定积分是一个数值,它只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，即（2）定义中区间的分法和xi的取法是任意的.三.定积分的几何意义：Oxyabyf(x)baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积。当f(x)0时，积分dxxfba)(在几何上表示由y=f(x)、当f(x)0时，由yf(x)、xa、xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，xyOdxxfSba)]([，dxxfba)(．abyf(x)yf(x)dxxfSba)]([baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。S上述曲边梯形面积的相反数。定积分的几何意义：积分baf(x)dx在几何上表示baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx。S定积分的几何意义：在区间[a,b]上曲线与x轴所围成图形面积的代数和(x轴上方的面积为正，x轴下方的面积为负).50(24)xdx计算定积分-465OxyAB50(24)945xdx例：计算下列定积分.21120310213001(1)(1);(2)(1);2(3);(4)(1);(5)sin;(6).xdxxdxxdxxdxxdxxdx第（1）-（5）小题可用定积分的几何意义求解。第（6）小题现在只能用定积分的定义求，很繁，等下节学了牛顿-莱布尼兹公式再做。课堂练习•课本P39练习A.1，3，4四.定积分的基本性质性质1.dx)]x(g)x(f[bababadx)x(gdx)x(f性质2.badx)x(kfbadx)x(fk四.定积分的基本性质定积分关于积分区间具有可加性bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f性质3.2121ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOxyabyf(x)Ｃabyf(x)Oxy()ygx探究:根据定积分的几何意义,如何用定积分表示图中阴影部分的面积?abyf(x)Oxy1()baSfxdx()ygx12()()bbaaSSSfxdxgxdx2()baSgxdx