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1/15第九章整式乘法与因式分解单元总结归纳一、本章的知识框图二、重点、难点突破重点：(一)单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.（二）单项式乘以多项式1.单项式与多项式的相乘，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即a（b＋c＋d）=ab＋ac＋ad.2.其几何意义为：3.单项式与多项式相乘的步骤：2/15（1）按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式；（2）进行单项式的乘法运算.（三）多项式乘以多项式1.多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2.其几何意义为：3.多项式与多项式相乘的步骤：（1）用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；（2）把所得的积相加.（四）乘法公式1.完全平方式公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.（1）特征：完全平方公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。可概括为“首平方，尾平方，乘积2倍放中央，中央符号回头望”.（2）语言叙述：两个数的和的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的和；两个数的差的平方等于这两个数的平方和与它们的积的2倍的差（3）几何意义：（a+b）2=a2+2ab+b2、（a-b）2=a2-2ab+b23/152.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2.（1）特征：公式的左边是两个数的和乘以这两个数的差，而公式的右边恰好是这两个数的平方差.（2）语言叙述：两个数的和乘以这两个数的差等于这两个数的平方差.（3）几何意义：（五）因式分解（1）因式分解与整式乘法的区别与联系：把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解.它与整式乘法是两种互逆的恒等变形.（2）提公式法分解因式：提公因式的依据是乘法分配律，其实质是分配律的“逆用”；提公因式分解因式的步骤是：a.找出多项式各项的公因式；b.提出多项式的4/15公因式；提公因式分解因式的关键是正确找出各项的公因式，当一个多项式的公因式正确找出后，需要提取公因式，此时可以直接观察出提出公因式后剩下的另一个公因式；也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后，剩下的另一个因式.（3）公式法分解因式：平方差公式分解因式：a2－b2=(a+b)(a－b)，两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.完全平方公式分解因式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2，两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.难点：1.单项式与单项式相乘，应注意：（1）先把各因式里的系数组成一组，积的系数等于各因式系数的积，即进行有理数的乘法运算，先确定积的符号，再计算绝对值；（2）相同字母相乘时，利用同底数幂的乘法法则“底数不变，指数相加”；（3）对于只在一个单项式中出现的字母，应连同它的指数一起写在积里，注意不能漏掉这部分因式；（4）单项式乘法中若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方，再乘法”的顺序进行；（5）单项式与单项式相乘的积仍是单项式，对于字母因式的幂的底数是多项式形式的，应将其作为一个整体来运算；（6）对于三个或三个以上的单项式相乘，法则仍适用.2.单项式与多项式相乘应注意：（1）单项式与多项式相乘，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同；（2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，为了避免发生符号上的错误，计算时可以分为两步：先把“-”号放在括号外，把单项式与多项式相乘，然后去括号；（3）在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要进行合并.5/153.多项式乘以多项式应注意：（1）运算时要按一定的顺序进行，防止漏项，积的项数在没有合并同类项之前，应是两个多项式项数的积；（2）多项式是几个单项式的和，每项都包括前面的符号，在计算时要正确确定积中各项的符号；（3）运算结果有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列.4.乘法公式（1）运用完全平方公式时应注意：明确使用和的完全平方公式还是差的完全平方公式；分清公式中的a、b分别代表什么；结果是三项式，首尾两项分别是左边二项式的每一项的平方，中间项是左边两项的积的二倍，尤其是中间项的二倍不能忘记.（2）运用平方差公式时应注意：首先明确能否利用平方差公式计算（能利用平方差的标准是一个二项式是两数的和，另一个二项式是这两数的差，我们把符号相同的数看作是a，把符号相反的项看作是b）；结果是平方差，且两个数(项)的位置不能弄错；必须注意系数、指数的变化（3）灵活应用乘法公式首先必须做到心中牢记公式的“模样”，在此前提下再认真地对题目进行细致观察，想法设法通过调整项的位置和添括号等变形技巧，把式子凑成公式的“模样”，然后就可以应用公式进行计算了，这里关键是要善“变”.5.因式分解（1）对因式分解结果的约定：a.与原多项式相等；b.为积的形式，即从整体上看，最后结果应是一些因式的乘积；c.每个因式都是整式；d.在指定数集里，每个多项式不能再分解.e.形式最简.（2）用提公因式法分解因式应注意：a.公因式要提尽；b.小心漏项，提公因法分解因式后，括号里多项式的项数与原多项式的项数应该相同；c.提取公因式后的多项式首项一般取正号；d.分解因式与整式的乘法是互逆的过程，所以可以用整式的乘法来验证因式分解的正确性；e.把含有相同字母的式子作为公因式提出来时，要特别注意统一式子中字母的顺序；f.提公因式要干净彻底，也就是说当把多项式提出公因式后，剩下的6/15另一个因式中应该再不能提出公因式了.（3）使用公式法分解因式：如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式；如果多项式是三项，其中两项同号，且能写成两数的平方和的形式，另一项是这两数乘积的2倍，可以运用完全平方公式分解.有时多项式不能直接使用公式时，还可以适当将它们变形.（4）综合运用提公因式法和运用公式法分解因式时要注意:1.如果多项式各项有公因式，应先提公因式，再进一步分解;2.分解因式必须分解到每个多项式的因式都不能再分解为止;3.因式分解的结果必须是几个整式的积的形式.即：“一提”、“二套”、“三查”.特别强调“三查”，检查多项式的每一个因式是否还能继续分解因式，还可以用整式乘法检查因式分解的结果是否正确.整合拓展创新类型之一、基本概念型例1下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？（1）8a2b3c=2a2b·2b3·2c（2）3a2+6a=3a(a+2)（3）x2－21y=(x+y1)(x－y1)（4）x2－4+3x=(x+2)(x－2)+3x（5）ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)（6）(2a+5b)(2a－5b)=4a2－25b2【思路分析】因式分解必须是左边是多项式，右边整体是积，且每个因式都是整式，它与整式乘法是互逆的恒等变形.解：（2）是因式分解，（6）是整式乘法.【点评】本题旨在复习学生对因式分解与整式乘法的认识.变式题下列变形中，因式分解对不对？为什么？（1）x2y－xy2=xy(x－y)（2）a3－2ab+ab2=a(a－b)2=a(a2－2ab+b2)7/15（3）62ab－4ab2+2ab=2ab(3a－2b)（4）4a2－100=(2a+10)(2a－10)（5）a2－b2=(a－b)2提示：第（2）题提取公因式a后，括号里是a2-2b+b2，不是完全平方式；第（3）出现了漏项；第（4）题没有分解彻底，应先提取公因式4，再用平方差公式；第（5）题混淆了两个乘法公式.解：只有（1）是正确的.【说明】此题旨在提醒学生常出现的错误，1、剩下的1漏写；2、没有先提公因式分解不完全；3、平方差与差平方相混，尤其是(2)中是学生常见错误类型，原因是学生对整式乘法先入为主，而对因式分解的本质没有完全理解，形成心理学上的“倒摄抑制”效应，应提醒学生注意.类型之二、基本运算型1.整式乘法的运算例2先规定一种运算：a＊b=ab+a-b，其中a、b为有理数，则a＊b+（b-a）＊b等于（）A.a2-b；B.b2-b；C.b2；D.b2-a.【思路分析】在（b-a）＊b中，把（b-a）看作是规定运算中的a，展成一般形式后用整式的乘法进行运算.解：a＊b+（b-a）＊b=ab+a-b+[（b-a）b+（b-a）-b]=ab+a-b+[b2-ab+b-a-b]=ab+a-b+b2-ab-a=b2-b.选B.【点评】解决这类问题，理清题目意思是解题关键.变式题已知：A=2x2+3xy-y2，B=-21xy，C=81x3y3-41x2y4.求：2AB2-C.提示：直接代入计算，在复杂的式子计算中，先算乘方，再算多项式乘法，最后合并同类项.解：2AB2-C=2（2x2+3xy-y2）（-21xy）2-（81x3y3-41x2y4）=（4x2+6xy-2y2）（41x2y2）-81x3y3+41x2y48/15=x4y2+23x3y3-21x2y4-81x3y3+41x2y4=x4y2+811x3y3-41x2y4.例3计算：（1）3（m+1）2-5（m+1）（m-1）+2（m-1）2；（2）[（4xn+1-21y）2+4y（xn-16y）]÷8x2.【思路分析】利用乘法公式展开后计算.解：（1）原式=3（m2+2m+1）-5（m2-1）+2（m2-2m+1）=3m2+6m+3-5m2+5+2m2-4m+2=2m+10；（2）原式=（16x2n+2-4xn+1y+41y2+4xny-41y2）÷8x2=（16x2n+2-4xn+1y+4xny）÷8x2=2x2n-21xn-1y+21xn-2y.【点评】在整式的运算中，为了运算简捷，要尽量利用乘法公式计算，混合运算要注意运算顺序.尽管（2）中出现了多项式除以单项式运算，但应用倒数可将除法转化为乘法运算，即（m+n）÷a=（m+n）×a1=m×a1+n×a1=m÷a+n÷a.可见掌握转化思想，可以探索新知识，解决新问题.变式题计算：（1）（a+b+c-d）（a-b+c+d）；（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）.提示：（1）建立平方差公式的模型后求解；（2）将（x+1）与（x+4），（x+2）与（x+3）先分别相乘.解：（1）观察运算符号，两多项式中a、c符号相同，b、d符号相反，因此可以把a、c结合在一起，看成一项，把b、d结合在一起，看成另一项，应用平方差公式计算.原式=[（a+c）+（b-d）][（a+c）-（b-d）]=（a+c）2-（b-d）2=a2+2ac+c2-b2+2bd-d2；（2）经过观察1+4=2+3，因此将（x+1）（x+4）和（x+2）（x+3）先分别相乘，出现相同部分x2+5x，再视其为整体进行运算.9/15原式=[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]=[x2+5x+4][x2+5x+6]=[（x2+5x）+4][（x2+5x）+6]=（x2+5x）2+10（x2+5x）+24=x4+10x3+25x2+10x2+50x+24=x4+10x3+35x2+50x+24.2.因式分解例4（1）分解因式:2x2-18=;（2）分解因式:a3-2a2b+ab2=;（3）分解因式:x2-y2+ax+ay=.【思路分析】（1）（2）先提公因式，再用公式法；（3）要利用分组分解法.解：（1）原式=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）；（2）原式=a（a2-2ab+b2）+a（a-b）2；（3）原式=（x2-y2）+（ax+ay）=（x+y）（x-y）+a（x+y）=（x+y）（x-y+a）.【点评】中考对因式分解的要求不太高，都以基本题为主.但有不少学生在解答第（1）（2）题时常常在提公因式后就结束答题，从而失分.因此，在做因式分解时，最后一定要检验，使每个因式不能再分解才能结束.变式题先阅读，再分解因式：x4+4=（x4+4x2+4）-4x2=（x2+2）2-