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第三章 多维随机变量及其分布1．在一箱子中装有１２只开关，其中２只是次品，在其中取两次，每次任取一只，考虑两种试验：（１）放回抽样；（２）不放回抽样．我们定义随机变量X，Y如下： X＝０，若第一次取出的是正品，１，若第一次取出的是次品； Y＝０，若第二次取出的是正品，１，若第二次取出的是次品．试分别就（１）、（２）两种情况，写出X和Y的联合分布律．解（１）放回抽样．由教材第一章知第一次第二次取到正品（或次品）的概率相同，且两次所得的结果相互独立，即有P｛X＝０｝＝P｛Y＝０｝＝５６，P｛X＝１｝＝P｛Y＝１｝＝１６，且P｛X＝i，Y＝j｝＝P｛X＝i｝P｛Y＝j｝，i，j＝０，１，于是得X和Y的联合分布律为P｛X＝０，Y＝０｝＝P｛X＝０｝P｛Y＝０｝＝４３６，P｛X＝０，Y＝１｝＝P｛X＝０｝P｛Y＝１｝＝５３６，P｛X＝１，Y＝０｝＝P｛X＝１｝P｛Y＝０｝＝５３６，P｛X＝１，Y＝１｝＝P｛X＝１｝P｛Y＝１｝＝１３６．（２）不放回抽样．由乘法公式P｛X＝i，Y＝j｝＝P｛Y＝jX＝i｝P｛X＝i｝，i，j＝０，１，知X和Y的联合分布律为P｛X＝０，Y＝０｝＝９１１×１０１２＝４５６６，P｛X＝０，Y＝１｝＝２１１×１０１２＝１０６６，P｛X＝１，Y＝０｝＝１０１１×２１２＝１０６６，P｛X＝１，Y＝１｝＝１１１×２１２＝１６６．（１）、（２）两种情况下的X和Y的联合分布律的表格形式分别为 XY ０１０２５３６５３６１５３６１３６ XY ０１０４５６６１０６６１１０６６１６６2．（１）盒子里装有３只黑球、２只红球、２只白球，在其中任取４只球．以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数．求X和Y的联合分布律．（２）在（１）中求P｛X＞Y｝，P｛Y＝２X｝，P｛X＋Y＝３｝，P｛X＜３－Y｝．解（１）按古典概型计算．自７只球中取４只，共有７４＝３５种取法．在４只球中，黑球有i只，红球有j只（剩下４－i－j只为白球）的取法数为：N｛X＝i，Y＝j｝＝３i２j２４－i－j， i＝０，１，２，３，j＝０，１，２，i＋j≤４．于是P｛X＝０，Y＝２｝＝３０２２２２３５＝１３５．P｛X＝１，Y＝１｝＝３１２１２２３５＝６３５．P｛X＝１，Y＝２｝＝３１２２２１３５＝６３５．P｛X＝２，Y＝０｝＝３２２０２２３５＝３３５．P｛X＝２，Y＝１｝＝３２２１２１３５＝１２３５．P｛X＝２，Y＝２｝＝３２２２２０３５＝３３５．P｛X＝３，Y＝０｝＝３３２０２１３５＝２３５．P｛X＝３，Y＝１｝＝３３２１２０３５＝２３５．35第三章 多维随机变量及其分布P｛X＝０，Y＝０｝＝P｛X＝０，Y＝１｝＝P｛X＝１，Y＝０｝＝P｛X＝３，Y＝２｝＝０．分布律为 XY ０１２３０００３３５２３５１０６３５１２３５２３５２１３５６３５３３５０（２）P｛X＞Y｝＝P｛X＝２，Y＝０｝＋P｛X＝２，Y＝１｝ ＋P｛X＝３，Y＝０｝＋P｛X＝３，Y＝１｝＝３３５＋１２３５＋２３５＋２３５＝１９３５．P｛Y＝２X｝＝P｛X＝１，Y＝２｝＝６３５．P｛X＋Y＝３｝＝P｛X＝１，Y＝２｝＋P｛X＝２，Y＝１｝＋P｛X＝３，Y＝０｝＝６３５＋１２３５＋２３５＝２０３５．P｛X＜３－Y｝＝P｛X＋Y＜３｝＝P｛X＝０，Y＝２｝＋P｛X＝１，Y＝１｝＋P｛X＝２，Y＝０｝＝１３５＋６３５＋３３５＝１０３５．3．设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）＝k（６－x－y），０＜x＜２，２＜y＜４，０，其他．（１）确定常数k．（２）求P｛X＜１，Y＜３｝．（３）求P｛X＜１．５｝．（４）求P｛X＋Y≤４｝．解（１）由∫∞－∞∫∞－∞f（x，y）dxdy＝１，得45概率论与数理统计习题全解指南１＝∫４２dy∫２０k（６－x－y）dx＝k∫４２（６－y）x－１２x２x＝２x＝０dy＝k∫４２（１２－２y－２）dy＝k（１０y－y２）４２＝８k，所以k＝１８．（２）P｛X＜１，Y＜３｝＝∫３２dy∫１０１８（６－x－y）dx＝１８∫３２（６－y）x－１２x２x＝１x＝０dy＝１８∫３２１１２－ydy＝３８．（３）P｛X＜１．５｝＝∫４２dy∫１．５０１８（６－x－y）dx＝１８∫４２（６－y）x－１２x２x＝１．５x＝０dy＝１８∫４２６３８－３２ydy＝２７３２．题３畅３图（４）在f（x，y）≠０的区域R：０≤x≤２，２≤y≤４上作直线x＋y＝４（如题３畅３图），并记G：｛（x，y）|０≤x≤２，２≤y≤４－x｝，则P｛X＋Y≤４｝＝P｛（X，Y）∈G｝＝∫∫Gf（x，y）dxdy＝∫４２dy∫４－y０１８（６－x－y）dx＝１８∫４２（６－y）x－１２x２x＝４－yx＝０dy＝１８∫４２［（６－y）（４－y）－１２（４－y）２］dy＝１８∫４２［２（４－y）＋１２（４－y）２］dy＝１８－（４－y）２－１６（４－y）３４２＝２３．4．设X，Y都是非负的连续型随机变量，它们相互独立．（１）证明 P｛X＜Y｝＝∫∞０FX（x）fY（x）dx．其中FX（x）是X的分布函数，fY（y）是Y的概率密度．55第三章 多维随机变量及其分布（２）设X，Y相互独立，其概率密度分别为fX（x）＝λ１e－λ１x， x＞０，０， 其他， fY（y）＝λ２e－λ２y， y＞０，０， 其他，求P｛X＜Y｝．解 （１）因X，Y为非负的相互独立的随机变量，故其概率密度为f（x，y）＝fX（x）fY（y）， x＞０，y＞０，０， 其他．题３畅４图从而P｛X＜Y｝＝簇GfX（x）fY（y）dxdy，其中G为x≥０，y≥x界定的区域，从而P｛X＜Y｝＝∫∞０∫y０fX（x）fY（y）dxdy＝∫∞０fY（y）［∫y０fX（x）dx］dy＝∫∞０fY（y）FX（y）dy＝∫∞０FX（y）fY（y）dy＝∫∞０FX（x）fY（x）dx．（２）由（１）P｛X＜Y｝＝∫∞０（１－e－λ１x）（λ２e－λ２x）dx＝∫∞０［λ２e－λ２x－λ２e－（λ１＋λ２）x］dx＝－e－λ２x＋λ２λ１＋λ２e－（λ１＋λ２）x∞０＝１－λ２λ１＋λ２＝λ１λ１＋λ２．5．设随机变量（X，Y）具有分布函数F（x，y）＝１－e－x－e－y＋e－x－y， x＞０，y＞０，０， 其他．求边缘分布函数．解 FX（x）＝F（x，∞）＝１－e－x， x＞０，０， 其他． FY（y）＝F（∞，y）＝１－e－y， y＞０，０， 其他．6．将一枚硬币掷３次，以X表示前２次中出现H的次数，以Y表示３次中出现H的次数．求X，Y的联合分布律以及（X，Y）的边缘分布律．解法（i） 将试验的样本空间及X，Y取值的情况列表如下：65概率论与数理统计习题全解指南样本点HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTX的值２２１１１１００Y的值３２２２１１１０X所有可能取的值为０，１，２；Y所有可能取的值为０，１，２，３，由于试验属等可能概型，容易得到（X，Y）取（i，j），i＝０，１，２；j＝０，１，２，３的概率．例如P｛X＝１，Y＝２｝＝２８＝１４，P｛X＝２，Y＝３｝＝１８，P｛X＝１，Y＝３｝＝０．可得X和Y的联合分布律和（X，Y）的边缘分布律如下表所示． XY ０１２P｛Y＝j｝０１８００１８１１８２８０３８２０２８１８３８３００１８１８P｛X＝i｝１４２４１４１解法（ii） X～b（２，１２），Y所有可能取的值为０，１，２，３．而当X＝i（i＝０，１，２）时，Y取i的概率为１２，Y取i＋１的概率也是１２，而取i，i＋１以外的值是不可能的（因第三次投掷不是出现H就是出现T），知P｛X＝i｝＝２i１４，i＝０，１，２，故知P｛X＝０，Y＝０｝＝P｛Y＝０X＝０｝P｛X＝０｝＝１２P｛X＝０｝＝１２·１４＝１８，P｛X＝０，Y＝１｝＝P｛Y＝１X＝０｝P｛X＝０｝＝１２P｛X＝０｝＝１２·１４＝１８，P｛X＝１，Y＝１｝＝P｛Y＝１X＝１｝P｛X＝１｝＝１２P｛X＝１｝＝１２·１２＝１４，75第三章 多维随机变量及其分布P｛X＝１，Y＝２｝＝P｛Y＝２X＝１｝P｛X＝１｝＝１２P｛X＝１｝＝１２·１２＝１４，P｛X＝２，Y＝２｝＝P｛Y＝２X＝２｝P｛X＝２｝＝１２P｛X＝２｝＝１２·１４＝１８，P｛X＝２，Y＝３｝＝P｛Y＝３X＝２｝P｛X＝２｝＝１２P｛X＝２｝＝１２·１４＝１８，P｛X＝０，Y＝２｝＝P｛X＝０，Y＝３｝＝P｛X＝１，Y＝０｝＝P｛X＝１，Y＝３｝＝P｛X＝２，Y＝０｝＝P｛X＝２，Y＝１｝＝０．所得X和Y的联合分布律与解法（i）相同，即为上表所示．7．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）＝４．８y（２－x），０≤x≤１，０≤y≤x，０，其他．求边缘概率密度．解（X，Y）的概率密度f（x，y）在区域G：｛（x，y）０≤x≤１，０≤y≤x｝题３畅７图外取零值．如题３畅７图有fX（x）＝∫∞－∞f（x，y）dy＝∫x０４．８y（２－x）dy，０≤x≤１，０，其他＝２．４（２－x）x２，０≤x≤１，０，其他，fY（y）＝∫∞－∞f（x，y）dx＝∫１y４．８y（２－x）dx，０≤y≤１，０，其他 ＝２．４y（３－４y＋y２），０≤y≤１，０，其他．注：在求边缘概率密度时，需画出（X，Y）的概率密度f（x，y）≠０的区域，这对于正确写出所需求的积分的上下限是很有帮助的．8．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为85概率论与数理统计习题全解指南f（x，y）＝e－y，０＜x＜y，０，其他，求边缘概率密度．解fX（x）＝∫∞xe－ydy＝－e－y∞x＝e－x，x＞０，０，其他，fY（y）＝∫y０e－ydx＝ye－y，y＞０，０，其他．9．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）＝cx２y，x２≤y≤１，０，其他．（１）确定常数c．（２）求边缘概率密度．题３畅９图解（１）由于（如题３畅９图） １＝∫∞－∞∫∞－∞f（x，y）dxdy＝簇x２≤y≤１cx２ydxdy＝c∫１－１x２dx∫１x２ydy＝c∫１－１x２y２２１x２dx＝c∫１０x２（１－x４）dx＝４c２１，得c＝２１４．（２）fX（x）＝∫∞－∞f（x，y）dy＝∫１x２２１４x２ydy，－１≤x≤１，０，其他＝２１８x２y２１x２＝２１８x２（１－x４），－１≤x≤１，０，其他．fY（y）＝∫∞－∞f（x，y）dx＝∫y－y２１４x２ydx，０≤y≤１，０，其他，＝７４x３yy－y＝７２y５／２，０≤y≤１，０，其他．10．将某一医药公司８月份和９月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X和Y．据以往积累的资料知X和Y的联合分布律为95第三章 多维随机变量及其分布 X Y ５１５２５３５４５５５１０．０６０．０５０．０５０．０１０．０１５２０．０７０．０５０．０１０．０１０．０１５３０．０５０．１００．１００．０５０．０５５４０．０５０．０２０．０１０．０１０．０３５５０．０５０．０６０．０５０．０１０．０３（１）求边缘分布律．（２）求８月份的订单数为５１时，９月份订单数的条件分布律．解（１）（X，Y）关于X的边缘分布律为P｛X＝i｝＝钞５５j＝５１P｛X＝i，Y＝j｝，i＝５１，５２，５３，５４，５５．将表中X＝i那一列的各数字相加，就得到概率P｛X＝i｝，例如P｛X＝５２｝＝０．０５＋０．０５＋０．１０＋０．０２＋０．０６＝０．２８．可得（X，Y）关于X的边缘分布律为X５１５２５３５４５５pk０．２８０．２８０．２２０．０９０．１３（X，Y）关于Y的边缘分布律为P｛Y＝j｝＝钞５５i＝５１P｛X＝i，Y＝j｝， j＝５１，５２，５３，５４，５５．将表中Y＝j那一行的各数字相加，就得到概率P｛Y＝j｝，例如P｛Y＝５３｝＝０．０５＋０．１０＋０．１０＋０．０５＋０．０５＝０．３５．可得（X，Y）关于Y的边缘分布律为Y５１５２５３５４５５pk０．１８０．１５０．３５０．１２０．２０（２）所需求的是条件分布律：P｛Y＝jX＝５１｝， j＝５１，５２，５３，５４