高中数学必修5第1章-正、余弦定理章末分层突破

上一页返回首页下一页巩固层提升层拓展层章末综合测评章末分层突破上一页返回首页下一页[自我校对]①asinA＝bsinB＝csinC②已知两角和其中一边③c2＝a2＋b2－2abcosC④已知三边⑤S＝12acsinB上一页返回首页下一页利用正、余弦定理求解三角形的基本问题解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程．三角形中的元素有基本元素(边和角)和非基本元素(中线、高、角平分线、外接圆半径和内切圆半径)，解三角形通常是指求未知的元素，有时也求三角形的面积．上一页返回首页下一页解斜三角形共包括四种类型：(1)已知三角形的两角和一边(一般先用内角和求角或用正弦定理求边)；(2)已知两边及夹角(一般先用余弦定理求第三边)；(3)已知三边(先用余弦定理求角)；(4)已知两边和一边的对角(先用正弦定理求另一边的对角或先用余弦定理求第三边，注意讨论解的个数)．上一页返回首页下一页△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，asinA＋csinC－2asinC＝bsinB.(1)求角B的大小；(2)若A＝75°，b＝2，求a，c.【精彩点拨】(1)用正弦定理将已知关系式变形为边之间的关系，然后利用余弦定理求解．(2)先求角C，然后利用正弦定理求边a，c.上一页返回首页下一页【规范解答】(1)由正弦定理得a2＋c2－2ac＝b2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB.故cosB＝22，因此B＝45°.(2)sinA＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝2＋64.故a＝b×sinAsinB＝1＋3.由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，c＝b×sinCsinB＝2×sin60°sin45°＝6.上一页返回首页下一页[再练一题]1．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，设a，b，c满足条件b2＋c2－bc＝a2和cb＝12＋3，求A和tanB的值.【导学号：05920015】上一页返回首页下一页【解】由余弦定理cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，因此A＝60°.在△ABC中，C＝180°－A－B＝120°－B.由已知条件，应用正弦定理12＋3＝cb＝sinCsinB＝sin120°－BsinB＝sin120°cosB－cos120°sinBsinB＝32tanB＋12，从而tanB＝12.上一页返回首页下一页正、余弦定理的综合应用正、余弦定理将三角形中的边和角关系进行了量化，为我们解三角形或求三角形的面积提供了依据，而三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．上一页返回首页下一页(2014·辽宁高考)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ac，已知BA→·BC→＝2，cosB＝13，b＝3.求：(1)a和c的值；(2)cos(B－C)的值．上一页返回首页下一页【精彩点拨】(1)由平面向量的数量积定义及余弦定理，列出关于a，c的方程组即可求解．(2)由(1)结合正弦定理分别求出B，C的正、余弦值，利用差角余弦公理求解．上一页返回首页下一页【规范解答】(1)由BA→·BC→＝2得c·acosB＝2.又cosB＝13，所以ac＝6.由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2accosB.又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×6×13＝13.解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.因为a＞c，所以a＝3，c＝2.上一页返回首页下一页(2)在△ABC中，sinB＝1－cos2B＝1－132＝223，由正弦定理，得sinC＝cbsinB＝23×223＝429.因为a＝b＞c，所以C为锐角，因此cosC＝1－sin2C＝1－4292＝79.于是cos(B－C)＝cosBcosC＋sinBsinC＝13×79＋223×429＝2327.上一页返回首页下一页[再练一题]2．(2014·北京高考)如图1­1，在△ABC中，∠B＝π3，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝17.图1­1(1)求sin∠BAD；(2)求BD，AC的长．上一页返回首页下一页【解】(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝17，所以sin∠ADC＝437.所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝437×12－17×32＝3314.上一页返回首页下一页(2)在△ABD中，由正弦定理得BD＝AB·sin∠BADsin∠ADB＝8×3314437＝3.在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝82＋52－2×8×5×12＝49.所以AC＝7.上一页返回首页下一页正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．上一页返回首页下一页如图1­2所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A、B、C.景区管委会开发了风景优美的景点D.经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5km.图1­2上一页返回首页下一页(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1km)(参考数据：3＝1.73，sin75°＝0.97，cos75°＝0.26，tan75°＝3.73，sin53°＝0.80，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33，sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78)上一页返回首页下一页【精彩点拨】(1)以BD为边的三角形为△ABD和△BCD，在△ABD中，一角和另外两边易得，所以可在△ABD中利用余弦定理求解DB.(2)以CD为边的两个三角形中的其他边不易全部求得，而角的关系易得，考虑应用正弦定理求解．上一页返回首页下一页【规范解答】(1)设BD＝xkm，则在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8xcos30°，即x2－83x＋39＝0，解得x＝43±3.因为43＋38，应舍去，所以x＝43－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9km.上一页返回首页下一页(2)在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD＝ABsin∠ADB，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝ADAB·sin∠ADB＝45＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6.在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×BDsin∠DCB≈3.9.故景点C与景点D之间的距离约为3.9km.上一页返回首页下一页[再练一题]3．如图1­3，某住宅小区的平面图呈扇形AOC.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD，DC，且拐弯处的转角为120°.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长(精确到1米)．图1­3上一页返回首页下一页【解】法一设该扇形的半径为r米，由题意，得CD＝500米，DA＝300米，∠CDO＝60°.在△CDO中，CD2＋OD2－2·CD·OD·cos60°＝OC2，即5002＋(r－300)2－2×500×(r－300)×12＝r2，解得r＝490011≈445(米)．上一页返回首页下一页法二连接AC，作OH⊥AC，交AC于点H，由题意，得CD＝500米，AD＝300米，∠CDA＝120°.在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2·CD·AD·cos120°＝5002＋3002＋2×500×300×12＝7002，∴AC＝700(米)．cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC·AD＝1114.在Rt△HAO中，AH＝350(米)，cos∠HAO＝1114，∴OA＝AHcos∠HAO＝490011≈445(米).上一页返回首页下一页转化与化归思想转化与化归思想用于研究、解决数学问题时思维受阻或寻求简单方法的情况下，把一种状况转化为另一种状况，也就是转化为另一种情境，使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．本章主要是综合运用正、余弦定理解决较为复杂的与解三角形有关的问题，在判断三角形的形状的问题中，利用边、角之间的转化与化归的方法是解决这类问题的基本思路．上一页返回首页下一页在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cosAsinB＝sinC，试确定△ABC的形状．【精彩点拨】充分运用正弦定理和余弦定理，可利用边的关系判断，也可转化为角的关系来判断．上一页返回首页下一页【规范解答】法一由正弦定理，得sinCsinB＝cb.又2cosAsinB＝sinC，所以cosA＝sinC2sinB＝c2b.由余弦定理，有cosA＝b2＋c2－a22bc.所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2.上一页返回首页下一页所以a＝b.又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以(a＋b)2－c2＝3ab，所以4b2－c2＝3b2.所以b＝c，所以a＝b＝c.因此△ABC为等边三角形．上一页返回首页下一页法二因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)．又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.因为A、B均为三角形的内角，所以A＝B.又由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab.得(a＋b)2－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab.上一页返回首页下一页所以cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12.因为0°C180°，所以C＝60°.因此△ABC为等边三角形．上一页返回首页下一页[再练一题]4．已知△ABC中，a3＋b3－c3a＋b－c＝c2，且acosB＝bcosA，试判断△ABC的形状.【导学号：05920016】上一页返回首页下一页【解】由a3＋b3－c3a＋b－c＝c2，得a3＋b3－c3＝c2(a＋b)－c3，∴a2＋b2－ab＝c2，∴cosC＝12，∴C＝60°.由acosB＝bcosA，得2RsinAcosB＝2RsinBcosA(R为△ABC外接圆的半径)，∴sin(A－B)＝0，∴A－B＝0，∴A＝B＝C＝60°，∴△ABC为等边三角形.上一页返回首页下一页1．(2014·全国卷Ⅱ)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B.5C．2D．1上一页返回首页下一页【解析】∵S＝12AB·BCsinB＝12×1×2sinB＝12，∴sinB＝22，∴B＝π4或3π4.当B＝3π4时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝5，此时△ABC为钝角三角形，符合题意；当B＝π4时，根据余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB＝1＋2－2＝1，∴AC＝1，此时AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不符合题意．故AC＝5.【答案】B上一页返回首页下一页2．(2013·全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b＝()A．10B．9C．