复数代数形式的乘除运算习题

[学业水平训练]1．(2013·高考课标全国Ⅱ)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝()A．－1＋iB．－1－iC．1＋iD．1－i解析：选A.由题意得z＝2i1－i＝2i·1＋i2＝－1＋i.2．(2014·杭州高二检测)若复数z＝2i＋21＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模为()A.22B.2C．3D．2解析：选B.由题意，得z＝2i＋21＋i＝2i＋21－i1＋i1－i＝1＋i，复数z的模|z|＝12＋12＝2.3．复数z＝1＋2i21－i对应的点在复平面的第()象限．A．四B．三C．二D．一解析：选C．z＝1＋2i21－i＝－3＋4i1－i＝－3＋4i1＋i1－i1＋i＝－7＋i2＝－72＋12i，故z对应的点在复平面的第二象限．4．(2014·高考天津卷)i是虚数单位，复数7＋i3＋4i＝()A．1－iB．－1＋iC．1725＋3125iD．－177＋257i解析：选A.7＋i3＋4i＝7＋i3－4i3＋4i3－4i＝25－25i25＝1－i，故选A.5．(2014·咸阳高二检测)下面是关于复数z＝2－1＋i的四个命题，其中真命题为()p1：|z|＝2；p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i；p4：z的虚部为－1.A．p2，p3B．p1，p2C．p2，p4D．p3，p4解析：选C．z＝2－1＋i＝2－1－i－1＋i－1－i＝－2－2i2＝－1－i，所以|z|＝2，z的虚部为－1，所以p1错误，p4正确．z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，所以p2正确．z的共轭复数为z＝－1＋i，所以p3错误．所以选C．6．i是虚数单位，－5＋10i3＋4i＝________(用a＋bi的形式表示，其中a，b∈R)．解析：－5＋10i3＋4i＝－5＋10i3－4i3＋4i3－4i＝－15＋20i＋30i＋409＋16＝1＋2i.答案：1＋2i7．(2014·上海高二检测)已知复数2－aii＝1－bi，其中a，b∈R，i是虚数单位，则|a＋bi|＝________.解析：由2－aii＝1－bi，得2－ai＝i(1－bi)＝i－bi2＝b＋i，所以b＝2，－a＝1，即a＝－1，b＝2，所以|a＋bi|＝|－1＋2i|＝5.答案：58．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且z1z2为纯虚数，则实数a的值为________．解析：设z1z2＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.所以a＝4b，2＝3b，所以a＝83.答案：839．计算：(1)(1－i)(－12＋32i)(1＋i)；(2)2＋3i3－2i；(3)(2－i)2.解：(1)法一：(1－i)(－12＋32i)(1＋i)＝(－12＋32i＋12i－32i2)(1＋i)＝(3－12＋3＋12i)(1＋i)＝3－12＋3＋12i＋3－12i＋3＋12i2＝－1＋3i.法二：原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i)＝(1－i2)(－12＋32i)＝2(－12＋32i)＝－1＋3i.(2)2＋3i3－2i＝2＋3i3＋2i3－2i3＋2i＝2＋3i3＋2i32＋22＝6＋2i＋3i－65＝5i5＝i.(3)(2－i)2＝(2－i)(2－i)＝4－4i＋i2＝3－4i.10．已知复数z＝3＋bi(b∈R)，且(1＋3i)·z为纯虚数．(1)求复数z.(2)若w＝z2＋i，求复数w的模|w|.解：(1)(1＋3i)·(3＋bi)＝(3－3b)＋(9＋b)i.因为(1＋3i)·z为纯虚数，所以3－3b＝0，且9＋b≠0，所以b＝1，所以z＝3＋i.(2)w＝3＋i2＋i＝3＋i·2－i2＋i·2－i＝7－i5＝75－15i，所以|w|＝752＋－152＝2.[高考水平训练]1．已知复数z＝1－i，则z2－2zz－1＝()A．2iB．－2iC．2D．－2解析：选B.法一：因为z＝1－i，所以z2－2zz－1＝1－i2－21－i1－i－1＝－2－i＝－2i.法二：由已知得z－1＝－i，从而z2－2zz－1＝z－12－1z－1＝－i2－1－i＝2i＝－2i.2．若复数z1＝－1＋ai，z2＝b－3i，a，b∈R，且z1＋z2与z1·z2均为实数，则z1z2＝________.解析：因为z1＝－1＋ai，z2＝b－3i，所以z1＋z2＝b－1＋(a－3)i，z1·z2＝3a－b＋(3＋ab)i.因为z1＋z2与z1·z2均为实数，所以a－3＝0，3＋ab＝0，解得a＝3，b＝－1.所以z1＝－1＋3i，z2＝－1－3i，所以z1z2＝－1＋3i－1－3i＝－1＋3i2－1－3i－1＋3i＝－12－32i.答案：－12－32i3．已知z－1z＋1为纯虚数，且(z＋1)(z＋1)＝|z|2，求复数z.解：由(z＋1)(z＋1)＝|z|2⇒z＋z＝－1.①由z－1z＋1为纯虚数，得z－1z＋1＋z－1z＋1＝0⇒z·z－1＝0.②设z＝a＋bi，代入①②，得a＝－12，a2＋b2＝1.∴a＝－12，b＝±32.∴z＝－12±32i.4．已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是否为方程的根．解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0，∴b＋c＝0，2＋b＝0，∴b＝－2，c＝2.(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立．∴1－i也是方程的一个根．