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第2课时不等式的证明与柯西不等式…2018考纲下载…1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法．2．了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式．3．能利用均值不等式求一些特定函数的最值．请注意不等式的证明是中学数学的难点．柯西不等式只要求会简单应用．课前自助餐证明不等式的方法(1)比较法；(2)综合法与分析法；(3)反证法、放缩法；(4)数学归纳法．几个常见不等式(1)平均值不等式．a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an≥11a1＋1a2＋…＋1an.(2)柯西不等式．①设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则(a12＋a22＋…＋an2)(b12＋b22＋…＋bn2)≥(i＝1naibi)2．当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立．②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|．当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．1．若x，y∈R且满足x＋3y＝2，则3x＋27y＋1的最小值是()A．339B．1＋22C．6D．7答案D2．已知0a1b，且M＝11＋a＋11＋b，N＝a1＋a＋b1＋b，则M，N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定答案B解析由已知得0ab1，故M－N＝11＋a＋11＋b－a1＋a－b1＋b＝1－a1＋a＋1－b1＋b＝2（1－ab）（1＋a）（1＋b）0.故MN.3．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为()A．3B．6C．9D．12答案C解析方法一：1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋(ba＋ab)＋(ca＋ac)＋(cb＋bc)≥3＋2＋2＋2＝9.方法二：1a＋1b＋1c＝(1a＋1b＋1c)(a＋b＋c)≥331abc·33abc＝9，当a＝b＝c时，等号成立，故选C.4．(2014·陕西)设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．答案5解析由柯西不等式，得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，即5(m2＋n2)≥25.∴m2＋n2≥5，当且仅当an＝bm时，等号成立．∴m2＋n2的最小值为5.5．(2018·衡水中学调研卷)设x，y，z∈R，且满足：x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，则x＋y＋z＝________．答案3147解析由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2，当且仅当x1＝y2＝z3时等号成立，此时y＝2x，z＝3x.∵x2＋y2＋z2＝1，x＋2y＋3z＝14，∴x＝1414，y＝21414，z＝31414.∴x＋y＋z＝61414＝3147.6．(2016·江苏，理)设a0，|x－1|a3，|y－2|a3，求证：|2x＋y－4|a.答案略证明因为|x－1|a3，|y－2|a3，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|2×a3＋a3＝a.授人以渔题型一三个正数的算术——几何平均不等式问题已知x∈R＋，求函数y＝x(1－x2)的最大值．【思路】利用平均值不等式abc≤(a＋b＋c3)3(a0，b0，c0)求解．【解析】∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤12(2x2＋1－x2＋1－x23)3＝427.当且仅当2x2＝1－x2，即x＝33时，取“＝”，∴y≤239.∴ymax＝239.【答案】239★状元笔记★利用基本不等式必须要找准“对应点”，明确“类比对象”，使其符合几个著名不等式的特征，注意检验等号成立的条件，特别是多次使用基本不等式时，必须使等号同时成立．思考题1设a，b，c为正实数，求证：1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23.【证明】因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得1a3＋1b3＋1c3≥331a3·1b3·1c3，即1a3＋1b3＋1c3≥3abc.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥3abc＋abc.而3abc＋abc≥23abc·abc＝23.所以1a3＋1b3＋1c3＋abc≥23(当且仅当a＝b＝c＝63时取等号)．【答案】略题型二柯西不等式的应用(1)已知a，b，c∈R，且满足a＋2b＋3c＝6，则a2＋2b2＋3c2的最小值为________．【解析】由柯西不等式，得(1＋2＋3)(a2＋2b2＋3c2)≥(1·a＋2·2b＋3·3c)2.得6(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋2b＋3c)2＝36.∴a2＋2b2＋3c2≥6.当且仅当a1＝2b2＝3c3，即a＝b＝c＝1时，上式等号成立．∴a2＋2b2＋3c2的最小值为6.【答案】6(2)若3x＋4y＝2，试求x2＋y2的最小值及最小值点．【思路】由于3x＋4y＝2，则可以构造(32＋42)(x2＋y2)≥(3x＋4y)2的形式，从而使用柯西不等式求出最值．【解析】方法一：由柯西不等式，得(x2＋y2)(32＋42)≥(3x＋4y)2，①得25(x2＋y2)≥4，所以x2＋y2≥425.不等式①中当且仅当x3＝y4时等号成立，为求最小值点，需解方程组3x＋4y＝2，x3＝y4，解得x＝625，y＝825.因此当x＝625，y＝825时，x2＋y2取得最小值，最小值为425，最小值点为(625，825)．方法二：令a＝(3，4)，b＝(x，y)，则a·b＝3x＋4y，|a|＝32＋42＝5，|b|＝x2＋y2.∵|a·b|≤|a|·|b|(柯西不等式的向量形式)，∴|3x＋4y|≤5x2＋y2.∴x2＋y2≥|3x＋4y|225＝425.其他同方法一．【答案】最小值为425，最小值点为(625，825)★状元笔记★(1)利用柯西不等式证明不等式，先使用拆项重组、添项等方法构造符合柯西不等式的形式及条件，再使用柯西不等式解决有关问题．(2)利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此一定不能忘记检验等号成立的条件．思考题2设x，y，z∈R，且x216＋y25＋z24＝1，求x＋y＋z的取值范围．【解析】由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22][(x4)2＋(y5)2＋(z2)2]≥(4×x4＋5×y5＋2×z2)2，即25×1≥(x＋y＋z)2.∴5≥|x＋y＋z|，∴－5≤x＋y＋z≤5.即x＋y＋z的取值范围是[－5，5]．【答案】[－5，5]题型三证明不等式的常用方法(微专题)微专题1：分析、综合法证明不等式(1)已知|a|1，|b|1，a≠b，求证：|1－aba－b|1.【证明】方法一：(分析法)欲证|1－aba－b|1，只需证|1－ab||a－b|.即证(1－ab)2(a－b)2.即1－2ab＋a2b2a2－2ab＋b2，即1＋a2b2－a2－b20，即(1－a2)＋b2(a2－1)0，即(1－a2)·(1－b2)0.由已知|a|1，|b|1，∴a21，b21.故不等式成立，∴原不等式成立．方法二：(综合法)|1－ab|2－|a－b|2＝1＋a2b2－a2－b2＝(a2－1)(b2－1)．∵|a|1，|b|1，∴a2－10，b2－10.∴|1－ab|2－|a－b|20，∴|1－ab||a－b|.∴|1－aba－b|＝|1－ab||a－b|1.【答案】略(2)(2017·课标全国Ⅱ)已知a0，b0，a3＋b3＝2.证明：①(a＋b)(a5＋b5)≥4；②a＋b≤2.【证明】①(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4.②方法一：(分析法)欲证a＋b≤2，只需证(a＋b)3≤8.即证a3＋3a2b＋3ab2＋b3≤8.即a2b＋ab2≤2.(∵a3＋b3＝2)即ab(a＋b)≤2.(*)∵a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，且a2－ab＋b2≥ab.∴(a＋b)·ab≤2.即(*)式成立．∴原不等式成立．方法二：因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2＋3（a＋b）24·(a＋b)＝2＋3（a＋b）34，即(a＋b)3≤2＋3（a＋b）34，所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2.【答案】略★状元笔记★用综合法证明不等式是“由因导果”用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．思考题3(1)(2018·陕西宝鸡质检)已知a，b∈R＋，且a＋b＝1.证明：①(ax＋by)2≤ax2＋by2；②(a＋1a)2＋(b＋1b)2≥252.【证明】①方法一：(ax＋by)2－(ax2＋by2)＝a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy，因为a＋b＝1，所以a－1＝－b，b－1＝－a.又a，b均为正数，所以a(a－1)x2＋b(b－1)y2＋2abxy＝－ab(x2＋y2－2xy)＝－ab(x－y)2≤0，当且仅当x＝y时等号成立．所以(ax＋by)2≤ax2＋by2.方法二：欲证(ax＋by)2≤ax2＋by2，只需证a2x2＋2abxy＋b2y2≤ax2＋by2，即证a(1－a)x2＋b(1－b)y2－2abxy≥0，即abx2＋aby2－2abxy≥0(∵a＋b＝1，a0，b0)即x2＋y2－2xy≥0.而此式显然成立，∴原不等式成立．②(a＋1a)2＋(b＋1b)2＝4＋a2＋b2＋(1a2＋1b2)＝4＋a2＋b2＋（a＋b）2a2＋（a＋b）2b2＝4＋a2＋b2＋1＋2ba＋b2a2＋a2b2＋2ab＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋2(ba＋ab)＋(b2a2＋a2b2)≥4＋（a＋b）22＋2＋4＋2＝252，当且仅当a＝b时等号成立．【答案】略(2)(2018·安徽安庆一模)已知函数f(x)＝|x|＋|x－1|.①若f(x)≥|m－1|恒成立，求实数m的最大值M；②在①成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.【解析】①由已知可得f(x)＝1－2x，x0，1，0≤x1，2x－1，x≥1，∴f(x)min＝1，∴只需|m－1|≤1，解得－1≤m－1≤1，∴0≤m≤2，∴实数m的最大值M＝2.②证明：方法一：(综合法)∵a2＋b2≥2ab，∴ab≤1，∴ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，(ⅰ)又ab≤a＋b2，∴aba＋b≤12，∴aba＋b≤ab2，当且仅当a＝b时取等号，(ⅱ)由(ⅰ)(ⅱ)得，aba＋b≤12，∴a＋b≥2ab.方法二：(分析法)∵a0，b0，∴要证a＋b≥2ab，只需证(a＋b)2≥4a2b2，即证a2＋b2＋2ab≥4a2b2，∵a2＋b2＝M，∴只要证2＋2ab≥4a2b2，即证2(ab)2－ab－1≤0，即证(2ab＋1)(ab－1)≤0.∵2ab＋10，∴只需证ab≤1，下面证ab≤1.∵2＝a2＋b2≥2ab，∴ab≤1成立，∴a＋b≥2ab.【答案】①2②略微专题2：放缩法证明不等式设s＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n（n＋1），求证：12n(n＋1)s12n(n＋2)．【证明】s1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n＝1＋2＋3＋…＋n＝12n(n＋1)，s1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n＋（n＋1）2＝12[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)]＝12n(n＋2)．∴12n(n＋1)s12n(n＋2)．【答案】略★状元笔记★放缩法是不等式证明的基本方法，在不等式证明中几乎处处存在．(1)放缩法证明不等式时，常见的放缩依据或技巧主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量