平行四边形(知识点、经典例题、常考题型练习)

1平行四边形（一）【知识梳理】1、平行四边形：平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质：（1）平行四边形对角相等；（2）平行四边形对边相等；（3）平行四边形对角线互相平分。除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法：（1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。2、特殊平行四边形：一、矩形（1）有一角是直角的平行四边形是矩形（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。（4）矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（5）矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形二、菱形（1）把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.（2）定理1:菱形的四条边都相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.（4）菱形的面积等于菱形的对角线相乘除以2（5）菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形（6）菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。三、正方形（1）有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形（2）性质：①四个角都是直角，四条边相等②对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角（3）判定：①一组邻边相等的矩形是正方形②有一个角是直角的菱形是正方形2平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形直角梯形梯形四边形知识结构如下图（1）弄清定义及四边形之间关系图1：（2）四边形之间关系图2：2、几种特殊的四边形的性质和判定：3、一些定理和推论：三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。推论：夹在两平行线间的平行线段相等。推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。【例题精讲】填空题：两组对边分别平行四边形平行四边形矩形菱形正方形梯形只有一组对边平行一个角是直角一组邻边相等两腰相等有一个角是直角等腰梯形直角梯形一个角是直角一组邻边相等在下列特征中，（1）四条边都相等（2）对角线互相平分（3）对角线相等（4）对角线互相垂直（5）四个角都是直角（6）每一条对角线平分一组对角（7）对边相等且平行（8）邻角互补平行四边形具有的是：矩形具有的是：菱形具有的是：正方形具有的是：3【巩固】1、下列说法中错误．．的是（）A.四个角相等的四边形是矩形B.四条边相等的四边形是正方形C.对角线相等的菱形是正方形D.对角线互相垂直的矩形是正方形2、如果一个四边形的两条对角线互相平分，互相垂直且相等，那么这个四边形是()A.矩形B.菱形C.正方形D.菱形、矩形或正方形3、下面结论中，正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是平行四边形C.对角线互相垂直的四边形是菱形D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形4、如图，在ABC△中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DECA∥，DFBA∥．下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果90BAC，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果ADBC且ABAC，那么四边形AEDF是菱形.其中，正确的有.（只填写序号）【例1】如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.求证：四边形BFDE是平行四边形.【巩固】已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE．四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．【例2】如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于点E．FEDCBAＡＦＣＤＢＥAEDCFB4求证：四边形AECD是菱形．【例3】如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE．（1）求∠CAE的度数；（2）取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．【巩固】如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．（1）试判断四边形OCED的形状，并说明理由；（2）若AB＝6，BC＝8，求四边形OCED的面积．【例4】如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD、等边△ACE、等边△BCF.（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；三角形ABD,三角形ACE,三角形BCF都是等边三角形首先我们来证明DAEF为平行四边形角DBF=60度-角FBA=角ABC而DB=AB,BF=BC三角形DBF全等于三角形ABC所以:DF=AC=AE同理可证:DA=FE所以:DAEF为平行四边形ABCDEEFDABCCBADFE5(1)如图,如果角DAE=90度,则DAEF为矩形则必须:角BAC=360度-2*60度-90度=150度(而如果,另一种情况,BC为短边,F将落在DAECB的包围之中,角DAE=2*60度+角BAC90度,DAEF不可能为矩形,而BC为短边,角BAC90度)(2)如果:DA=AE,则:DAEF为菱形则必须:AB=AC(3)如果:角BAC=60度则:角DAE=3*60度=180度D,A,E共线,所以:以D、A、E、F为顶点的四边形不存在据此,(2)的结论应稍加改变为:当AB=AC,且角BAC不等于60度时,四边形DAEF是菱形（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明）①当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足_________________________条件时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足_________________________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在.6平行四边形（二）【知识梳理】由平行四边形的结构知，平行四边形可以分解为一些全等的三角形，并且包含着平行线的有关性质，因此，平行四边形是全等三角形知识和平行线性质的有机结合，平行四边形包括矩形、菱形、正方形。另一方面，平行四边形有许多很好的性质，使得构造平行四边形成为解几何题的有力工具。【例题精讲】【例1】四边形四条边的长分别为qpnm、、、，且满足pqmnqpnm222222，则这个四边形是（）A.平行四边形B.对角线互相垂直的四边形C.平行四边形或对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形【例2】如图①，四边形ABCD是正方形，点G是BC上任意一点，DE⊥AG于点E，BF⊥AG于点F.(1)求证：DE－BF＝EF．(2)当点G为BC边中点时，试探究线段EF与GF之间的数量关系，并说明理由．(3)若点G为CB延长线上一点，其余条件不变．请你在图②中画出图形，写出此时DE、BF、EF之间的数量关系（不需要证明）．【巩固】如图1，在边长为5的正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的点，且AEEF，2BE.（1）求EC∶CF的值；（2）延长EF交正方形外角平分线CPP于点（如图13－2），试判断AEEP与的大小关系，并说明理由；（3）在图2的AB边上是否存在一点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．7【例3】如图，在矩形ABCD中，已知AD＝12，AB＝5，P是AD边上任意一点，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，求PE＋PF的值。【例4】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC。【例5】如图所示，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F。求证：AE＝CF。EGFCDBA【巩固】如图，在平行四边形ABCD中，∠B，∠D的平分线分别交对边于点E、F，交四边形的对角线AC于点G、H。求证：AH＝CG。例6.已知：如图，在□ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥DB交CB的延长线于G．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论．图1ADCBE图2BCEDAFPF8例7.已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足，求证：AP=EF.例8.如图：已知在正方形ABCD中，AC、BD交于点O,点E是BO的中点，DGCE于点G，交OC于点F.如果正方形ABCD边长为10㎝.求EF的长.例9.如图，菱形ABCD，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°，求∠CEF的度数．例10.如图所示，在ABCD中，对角线AC、BD交于点O，BE平分ABC的外角，且BEAE；求证：BCABOE21例11.如图所示,P为ABC的BC边的垂直平分线上一点,且CPBPAPBC,,21的延长线分别交ABCDEOEFODCACCCBG9AC、AB于点D、E,CEBD；求证：CDBE例12.如图所示，在正方形ABCD中，点E在AD上，点F在CD上，45EBF，EFBG于点G；求证：BGAB例13.如图，在梯形ABCD中，AD‖BC，∠BAD=90°，AD+AB=14，（ABAD）BD=10，BD=DC，E、F分别是BC、CD上的点，且CE+CF=4.(1)求BC的长；(2)设EC的长为x，四边形AEFD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）在(2)的条件下，如果四边形AEFD的面积等于40，试求EC的长.（二）平行四边形的性质1、如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（）(A)4cm(B)6cm(C)8cm(D)10cm2．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC中点，AE的延长线与DC的延长线相交于点F．（1）证明：∠DFA=∠FAB；（2）证明：△ABE≌△FCE．ABCDEFGABCEPGDAFEBDCABCDOE103．如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接DE．延长DE交AB的延长线于点F．求证：AB=BF．4、已知如图：在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，点E、F分别在BC和AD边上，AF＝CE，EF和对角线BD相交于点O，求证：点O是BD的中点。(三)、平行四边形的判定1．四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB＝CD，AD＝BC；③AO＝CO，BO＝DO；④AB∥CD，AD＝BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有()A．1组B．2组C．3组D．4组2．点A、B、C是平面内不在同一直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面符合这样条件的点D有()A．1个B．2个C．3个D．4个3．已知，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，BE=DF，BE∥DF．求证：四边形ABCD是平行四边形．4．如图所示，▱AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D．求证：四边形ABCD是平行四边形．OFEDCBA115、已知如图12-1-21所示，在□ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF，M、N是AB、CD上的点，且BM＝DN.求证：四边形MENF是平行四边形．（四）三角形中位线1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是2、如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝3、如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（）A、20031B、20041C、200321D、2004214、如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。5、如图4-1