实数与向量相乘

实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n为正整数，a为向量，我们用an表示n个a相加；用an表示n个a相加.又当m为正整数时，amn表示与a同向且长度为amn的向量.要点诠释：设P为一个正数，Pa就是将a的长度进行放缩，而方向保持不变；—Pa也就是将a的长度进行放缩，但方向相反.2.向量数乘的定义一般地，实数k与向量a的相乘所得的积是一个向量，记作ka，它的长度与方向规定如下：（1）如果k0,a0且时，则：①ka的长度：||||||kaka；②ka的方向：当0k时，ka与a同方向；当0k时，ka与a反方向；（2）如果k0,a=0或时，则：0ka，ka的方向任意.实数k与向量a相乘，叫做向量的数乘.要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量；（2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系.3.实数与向量相乘的运算律设mn、为实数，则：（1）()()mnamna（结合律）；（2）()mnamana（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m（+b）=maamb（向量的数乘对于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量.要点诠释：任意非零向量a与它同方向的单位向量0a的关系：0aaa，01aaa.（2）平行向量定理：如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m，使bma.要点诠释：（1）定理中，bma，m的符号由b与a同向还是反向来确定.（2）定理中的“a0”不能去掉，因为若a0，必有b0，此时m可以取任意实数，使得bma成立.（3）向量平行的判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数m，使bma，则向量b与非零向量a平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b与非零向量a平行，则存在一个实数m，使bma.（5）A、B、C三点的共线AB//BC若存在实数λ，使ABBCλ.要点五、向量的线性运算1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算.要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减.（2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,ee是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数12,，使得1122aee.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,ee叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2)一个平面向量用一组基底12,ee表示为1122aee形式，叫做向量的分解，当12,ee相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。如图：从物理学的角度上面的现象是：将一个力分解为不同方向的两个力。例：1如果向量a，b是同一平面内的两个不平行向量。已知向量c是该平面内的一个非零向量，画出向量c在向量a，b方向上的分向量吗？练习：1.已知向量OA，OB和p，q求作：（1）向量p分别在OA，OB方向上的分向量。（2）向量q分别在OA，OB方向上的分向量。OCabcPqOAB训练题：1、计算:(1).BCAB_______(2).ACAB_______.(3).BCCDAB=_________.(4).DBAB=______.(5)CABCAB=______(6).DEBECDAB=________.2、计算:baba3322=___________。3、已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,设bOBaOA,,写出向量AB关于a、b的分解式____________.4、如图，在□ABCD中，点F是AB的中点，E点在BC上，且BC=3BE，设aBF，bBE，那么向量CA关于a、b的分解式为CA=________。5、AD是△ABC的中线，G是重心,bACaAB,,则AD=_____，AG____。6、如图，点D、E在ABC边AB和AC上,DE∥BC,32ABAD，设，试用向量BC表示向量DE:_________7、如图，AB∥CD，且OC:AO=3：4，设aAO，bOB，那么CD用a、b的线性表示为CD=___________________8、已知向量a、b满足关系式042132xba,用向量a、b表示向量x.ODCABOEFBACDABCDE练习：一、填空题1、若a是非零向量，则ak的方向是：当0k时，ak与a的方向。2、如果两个非零向量ba、满足ba(是非零实数)，那么a和b一定是___________；当1时，它们是__________的向量；当1时，它们是___________的向量3、设k是非零实数，ba、是非零向量，用式子表示实数与向量相乘对于向量加法的分配律：_______________________________________4、如果ba、是两个不平行的向量，那么ba52叫做ba、的______________________5、对于非零向量a，它的长度为5，如果把与它同向的单位向量记作0a，那么向量a可以记作____________6、设e是单位向量，若x与e方向相同，且满足23ex，请用e表示x：________________7、如果,cba32,ba02则ba_____________________8、在四边形ABCD中，设aAB，bCD，如果,ab2那么四边形一定是_________（填四边形的名称）9、已知ABC的重心是点G，则GCGBGA_______________10、设O是平行四边形ABCD的对角线的交点，点P为平面内与O不重合的任意一点，设aOP，试用a表示PDPCPBPA：________________________________二、选择题11、下列式子中，错误的是（）A.aaa2B.0aaC.babaD.abba12、向量OMBCBOMBAB化简后的结果等于()A.BCB.ABC.ACD.AM13、点C在线段AB上，且ABAC53，若BCmAC，则m的值等于（）A.32B.23C.32D.2314、给出下列3个命题，其中真命题的个数是()个（1）单位向量都相等（2）单位向量都平行（3）平行的单位向量必相等A.0B.1C.2D.315、已知一个单位向量e，设ba、是非零向量，则下列等式中正确的是（）A.aeaB.bbeC.eaa1D.aa1bb1三、解答题16、计算：abba21313232。17、已知向量关系式,xba062试用向量ba、表示x。18、已知非零向量ba、，请用作图方法验证baba222（不写作图方法，保留作图痕迹，请写出验证过程）。19、在ABC中，EG、为AC的三等分点，HF、为BC三等分点，aCA，bBC写出GHEFAB、、关于ba、的线性组合。abABCEGFH20、如图，已知平行四边形ABCD中，点FE、分别是边ABDC、的中点，CFAE、与对角线BD分别交于点HG、，设aAF，bAD（满分12分）（1）试用ba、分别表示向量GEGH、（2）作出向量DH分别在ba、方向上的分向量21、在ABC中，D是AB边的在中点，E是BC延长线上的点，且.BCBE2。（1）用BCBA、表示向量DE（2）用CBCA、表示向量DB22、在四边形ABCD中，,baAB2,baBC4,baCD35请判断四边形的形状，并证明你的结论。ABDECBACEFGH