2014年上海高考文科数学试题详解

2014年普通高等学校招生统一考试上海市数学试题（文科）详解满分150分;考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．函数212cos(2)yx的最小正周期是．考点：三角恒等变形、三角函数的周期解答：因为212cos(2)cos4yxx，所以2T.难度：容易题2．若复数12zi，其中i是虚数单位，则1zzz．考点：复数的四则运算，共轭运算解答：此题先根据分配律去括号可简化计算，即11516zzzzz难度：容易题3．设常数aR，函数2()1fxxxa．若(2)1f，则(1)f．考点：解方程、求函数值解答：由(2)1413faf难度：容易题4．若抛物线22ypx的焦点与椭圆22195xy的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为．考点：圆锥曲线的标准方程解答：知抛物线的焦点坐标为2,0，则其准线方程为：2x难度：容易题5．某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名．为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学生数进行分层抽样．若高三抽取20名学生，则高一、高二共需抽取的学生数为．考点：分层抽样解答：高一、高二共有学生2800名，按40：1的比例，需抽取学生数为70人。难度：容易题6．若实数,xy满足1xy，则222xy的最小值为．考点：基本不等式解答：222222112=222xyxxxx，即22222xy难度：容易题7．若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与轴所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．考点：圆锥的侧面展开图解答：如图：21=,=,3,arcsin3rlrlr侧面积底面积可得难度：容易题8．在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小长方体的体积之和等于．考点：三视图解答：由三视图知，切割掉的两个小长方体可拼成一个长宽高分别为4、3、2的长方体，所以其体积为24.难度：容易题9．设,0,()1,0.xaxfxxxx若(0)f是()fx的最小值，则a的取值范围为．考点：函数的单调性及最值解答：minmin0,0;0,12;2xfxfaxfxfa时时即可难度：中等题10．设无穷等比数列na的公比为q，若134lim()nnaaaa，则q．考点：无穷等比数列各项的和解答：22111515101,122aqaqqqorqqq舍难度：中等题11．若2132()fxxx，则满足()0fx的x的取值范围是．考点：幂函数的单调性解答：2123321()=,fxxxxx-∴其定义域为0,,又23yx是增函数，12yx是减函数，2132()fxxx是增函数，αlr又10f，0fx，即为1fxf，01.x难度：中等题12．方程sin3cos1xx在区间[0,2]上的所有的解的和等于．考点：三角方程解答：sin3cos1,2sin1,1336kxxxxk1,[0,2],1,263kxkxk1212117,,263xxxx难度：中等题13．为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是（结果用最简分数表示）．考点：组合、概率解答：未来的连续10天中随机选择3天的所有情况有310C种；未来的连续10天中选择的3天恰好为连续3天的所有情况有8种；则所求概率为3108115C难度：中等题14．已知曲线24:yxC，直线:6lx．若对于点(,0)Am，存在C上的点P和l上的Q使得0AQAP，则m的取值范围为．考点：圆的方程、能成立问题解答：∵曲线24:yxC，即:C2240xyx，∵0AQAP，∴点(,0)Am即为PQ、中点；设6Qy，，∵(,0)Am，则26,Pmy，∵点P在曲线C上，∴2222264264260260mymymm202642,3260mmm难度：较难题二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．设,abR，则“4ab”是“2a且2b”的（）(A)充分非必要条件(B)必要非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件考点：充分条件、必要条件解答：必要非充分条件，选B难度：容易题16．已知互异的复数,ab满足0ab，集合22,,abab，则ab（）(A)2(B)1(C)0(D)1考点：集合的相等、复数范围内1的立方根解答：⑴若22,,aabb则0,1,0,1,aabb0,1,1,0,aabb（舍）；⑵若22,,abba则4aa，那么0a（舍）或1a（舍）或13,2213,22iaib或13,2213,22iaib综合上述，1ab.选D难度：中等题17．如图，四个边长为1的小正方体排成一个大正方形，AB是大正方形的一条边，)7,,2,1(iPi是小正方形的其余顶点，则)7,,2,1(iAPABi的不同值的个数为（）(A)7(B)5(C)3(D)1考点：向量的数量积、向量的投影解答：结合图形，观察iAP在AB上的投影即可：136APAPAP、、在AB上的投影相同；47APAP、在AB上的投影相同；25APAP、在AB上的投影相同；故)7,,2,1(iAPABi的不同值的个数为3，选C难度：中等题18．已知111(,)Pab与222(,)Pab是直线1ykx（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组112211axbyaxby的解的情况是（）(A)无论12,,kPP如何，总是无解(B)无论12,,kPP如何，总有唯一解(C)存在12,,kPP，使之恰有两解(D)存在12,,kPP，使之有无穷多解考点：直线的方程、二元一次方程的行列式解法解答：把11(,)Pab代入直线1ykx得111bka，即111kab.同理可得221kab.则,1xky是方程组11221,1.axbyaxby的解.若,1xky不是方程组11221,1.axbyaxby的唯一解，则方程组11221,1.axbyaxby有无数解则1212,aabb，与已知矛盾综上，方程组11221,1.axbyaxby总有唯一解，选B.难度：较难题三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．（本题满分12分）底面边长为2的正三棱锥PABC，其表面展开图是三角形123PPP，如图，求123PPP的各边长及此三棱锥的体积V．考点：棱锥的体积、空间想象能力解答：依题意：123PPP是边长为4的正三角形，折叠后是棱长为2的正四面体PABC（如图）.设顶点P在底面ABC内的投影为O，连接BO，则O为ABC的重心，PO底面ABC.323,33BOAB284,3POBO122.33PABCABCVSPO难度：容易题OCBAP20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设常数0a，函数aaxfxx22)(．（1）若4a，求函数)(xfy的反函数)(1xfy；（2）根据a的不同取值，讨论函数)(xfy的奇偶性，并说明理由．考点：反函数、函数的奇偶性解答：（1）因为2424xxy，所以4121xyy，得1y或1y，且212log1yxy．因此，所求反函数为121()2log,1xfxx,11,x．（2）①当0a时，()1fx，定义域为R，故函数()yfx是偶函数；②当1a时，21()21xxfx，定义域为,00,，2121()()2121xxxxfxfx，故函数()yfx为奇函数；③当0a且1a时，定义域为22,loglog,aa关于原点不对称，故函数()yfx既不是奇函数，也不是偶函数．难度：容易题21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，某公司要在AB、两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米．设点AB、在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为和．（1）设计中CD是铅垂方向，若要求2，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差．现在实测得38.1218.45,，求CD的长（结果精确到0.01米）．考点：解斜三角形解答：（1）设CDh，则tan,tan3580hh.因2，所以22tantantan21tan，即2280351()80hhh，4020228.282h（米）（2）在ABD中，由已知，56.57，115AB，由正弦定理得sinsinBDAB，解得85.064BD（米）．在BCD中，由余弦定理得2222cosCDBCBDBCBD，解得26.93CD（米）．所以，CD的长约为26.93米．难度：中等题22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分．在平面直角坐标系xOy中，对于直线:0laxbyc和点111222(,),(,)PxyPxy，记1122()()axbycaxbyc．若0，则称点12,PP被直线l分隔．若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点12,PP被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证；点(1,2),(1,0)AB被直线10xy分隔；（2）若直线ykx是曲线2241xy的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点(0,2)Q的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E．求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．考点：定义法求曲线方程、数形结合思想解答：（1）证明：因为40，所以点,AB被直线10xy分隔．（2）解：直线ykx与曲线2241xy没有公共点的充要条件是方程组2241xyykx无解，即12k．当12k时，对于直线ykx，曲线2241xy上的点1,0和1,0满足20k，即点1,0和1,0被ykx分隔．故实数k的取值范围是11(,][,)22．（3）证明：设M的坐标为(,)xy，则曲线E的方程为22(2)1xyx．对任意的0y，00,y不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．又曲线E上的点1,2和1,2对于y轴满足0，即点1,2和1,2被y轴分隔．所以y轴为曲线E的分隔线．难度：中等题23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．已知数列{}na满足1133nnnaaa，*nN，11a．（1）若2342,,9aaxa，求x的取值范围；（2）设{}na是等比数列，且11000ma，求正整数m的最小值，以及