3-平稳时间序列分析解析

第三章平稳时间序列分析本章结构方法性工具1.ARMA模型2.平稳序列建模3.序列预测4.3.1方法性工具本节结构差分运算延迟算子线性差分方程差分运算一阶差分阶差分步差分pk1tttxxx111tptptpxxxktttkxxx延迟算子延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为延迟算子，有122,1ttttptptxBxxBxxBxp延迟算子的性质，其中10B为任意常数cxcxBcxcBttt,)()(111)(ttttyxyxBnttnxxB0(1)(1)nniiiniBCB)!(!!ininCin用延迟算子表示差分运算阶差分步差分pk0(1)(1)pppiittptiixBxCxtkkttkxBxx)1(线性差分方程线性差分方程齐次线性差分方程)(2211thzazazazptpttt02211ptptttzazazaz齐次线性差分方程的解特征方程特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合02211ppppaaap,,,21tpptttcccz2211tpptddtddtcctctccz111121)(1233()titittttppzrcececcd21非齐次线性差分方程的解非齐次线性差分方程的特解使得非齐次线性差分方程成立的任意一个解非齐次线性差分方程的通解齐次线性差分方程的通解和非齐次线性差分方程的特解之和tttzzztz)(2211thzazazazptpttttz时序分析与线性差分方程的关系常用的时间序列模型和某些模型的自协方差函数和自相关函数都可以视为线性差分方程线性差分方程对应的特征根的性质对判断模型的平稳性有着非常重要的意义本章结构方法性工具1.ARMA模型2.平稳序列建模3.序列预测4.3.2ARMA模型本节结构AR模型（AutoRegressionModel）MA模型（MovingAverageModel）ARMA模型（AutoRegressionMovingAveragemodel）AR模型的定义具有如下结构的模型称为阶自回归模型，简记为特别当时，称为中心化模型tsExtsEVarExxxxtsstttptptpttt,0,0)(,)(0)(0222110，p)(pAR00)(pARAR(P)序列中心化变换称为的中心化序列，令p101ttxy}{ty}{tx自回归系数多项式引进延迟算子，中心化模型又可以简记为自回归系数多项式)(pARttxB)(ppBBBB2211)(AR模型平稳性判别判别原因AR模型是常用的平稳序列的拟合模型之一，但并非所有的AR模型都是平稳的判别方法单位根判别法平稳域判别法自回归方程的解任一个中心化模型都可以视为一个非齐次线性差分方程，它的通解求法如下（1）求齐次线性差分方程的一个通解（2）求非齐次线性差分方程的一个特解（3）求非齐次线性差分方程的通解ttxB)()(pARttxB)(0)(txBtxtx21112111(cossin)pmdmjttttjjjjjjjjjjdjxctcrctctpitiipiitttBkBBx111)1()(ttxB)(211121111(cossin)1pmpdmjtttitjjjjjjjtjjdjiikxctcctwctBtttxxx单位根检验自回归序列平稳，要求成立的条件1,1,2,,21,1,2,,jjjpmjm211121111limlim[(cossin)]01pmpdmjtttitjjjjjjjtttjjdjiikxctcctwctB1212,,,,(1,,)pmjjccccjm平稳域判别对于一个模型而言，如果没有平稳性的要求，实际上也就意味着对参数向量没有任何限制，它们可以取遍维欧氏空间的任意一点如果加上了平稳性限制，参数向量就只能取维欧氏空间的一个子集，使得特征根都在单位圆内的系数集合对于低阶自回归模型用平稳域的方法判别模型的平稳性通常更为简便。)(pAR12{,,,}p特征根都在单位圆内AR(1)模型平稳条件方程结构特征根平稳域1tttxxAR(2)模型的平稳条件方程结构特征根平稳域2211211212442212221{,11}，且1122ttttxxx2122112121221121212(1)1(2)1(1)(1)1(3)1(1)(1)1AR(2)的平稳域}11,{12221，且例3.1:考察如下四个模型的平稳性1(1)0.8tttxx1(2)1.1tttxx12(3)0.5ttttxxxttttxxx115.0)4(例3.1平稳序列时序图1(1)0.8tttxx12(3)0.5ttttxxx例3.1非平稳序列时序图1(2)1.1tttxxttttxxx115.0)4(例3.1平稳性判别8.010.81.111.1211i212i221210.5,0.5,1.523112312221210.5,1.5,0.5模型特征根判别平稳域判别结论(1)平稳(2)非平稳(3)平稳(4)非平稳平稳AR模型的统计性质均值方差协方差自相关系数偏自相关系数均值如果AR(p)模型满足平稳性条件，则有根据平稳序列均值为常数，且为白噪声序列，有推导出p101)(110tptpttxxEExTtEExtt,0)(,}{tGreen函数定义AR模型的传递形式其中系数称为Green函数},2,1,{jGj110010()()1ppjtittiitiijipjiitjjijtjjkxkBBBkGGreen函数递推公式原理方法：待定系数法ttttttBGBBGxxB)()()()(1011101(1)()[1()]01,0,1,2,pkjkjttkjjjjkjkttjkjjkjkkkjkjkjkkBGBGGBGGGkpkpGGj其中，例3.2:求平稳AR(1)模型的方差平稳AR(1)模型的Green函数Green函数为平稳AR(1)模型的方差itiitiittBBx01011)(1,1,0,1jGjj2122021021)()(jjtjjtVarGxVar方差平稳AR模型的传递形式两边求方差得函数为GreenGGxVarjjjt,)(202jtjjtGx0协方差函数在平稳AR(p)模型两边同乘，再求期望根据得协方差函数的递推公式)()()()(11kttktptpkttkttxExxExxExxEktx1,k0)(kttxE1,kpkpkkk2211例3.3:求平稳AR(1)模型的协方差递推公式平稳AR(1)模型的方差为协方差函数的递推公式为0111kkk212012121,11kkk例3.4:求平稳AR(2)模型的协方差平稳AR(2)模型的协方差函数递推公式为21)1)(1)(1(12211201122121220kkkk，自相关系数自相关系数的定义平稳AR(P)模型的自相关系数递推公式0kk1122kkkpkp常用AR模型自相关系数递推公式AR(1)模型AR(2)模型0,1kkk2110,1221121kkkkkkAR模型自相关系数的性质AR模型自相关系数的表达式是一个齐次差分方程，设它的通解形式为呈指数衰减拖尾性1pkkiiic1,,ipcc1,且不能恒等于零10pkikiiic111,,ppkkiiiccck不能恒等于零不会恒等于零,某个常数例3.5:考察如下AR模型的自相关图ttttttttttttttxxxxxxxxxx2121115.0)4(5.0)3(8.0)2(8.0)1(例3.5：考察四个平稳AR模型的自相关图自相关系数按复指数单调收敛到零1(1)0.8tttxx例3.5：考察四个平稳AR模型的自相关图自相关系数呈正负相间衰减1(2)0.8tttxx例3.5：考察四个平稳AR模型的自相关图自相关系数呈现出“伪周期”性12(3)0.5ttttxxx例3.5：考察四个平稳AR模型的自相关图自相关系数不规则衰减12(4)0.5ttttxxx偏自相关系数定义对于平稳序列，所谓滞后k偏自相关系数就是指在给定中间k-1个随机变量的条件下，或者说，在剔除了中间k-1个随机变量的干扰之后，对影响的相关度量。用数学语言描述就是121,,,ktttxxxktxtx2,,,)ˆ[()]ˆ)(ˆ[(11ktktktktttxxxxxExExExxExEkttktt()ARp偏自相关系数的计算11,,,211111122(1)11122ˆˆ[()()]ˆ[()]ˆˆ[,,],[,,]ˆttkttktttkktxxxxtktkttttktktkttkttktktkktkkktktktktExExxExExExExExxxExExxxkxkxxxxxExxx其中：用过去期的序列值对做阶自回归拟合：11(1)1111122(1)12,,,2ˆ(),,)ˆ()ˆˆˆ[()()][()]ˆˆ[()()]ˆ[()ttkttkkktkkktktttkktktkktkkktktttktkkktktktttkktxxxxtktkxExExxxxxExExExxExExExExExxExExEx（]kkYule-Walker方程组在方程等号两边同时乘以，并取期望，得取前k个方程构成的方程组即Yule-Walker方程组解Yule-Walker方程组可以得到参数的解，最后一个参数的解即为延迟K偏自相关系数02211202