高中数学导数练习题

专题8：导数（文）经典例题剖析考点一：求导公式。例1.()fx是31()213fxxx的导函数，则(1)f的值是。解析：2'2xxf，所以3211'f答案：3考点二：导数的几何意义。例2.已知函数()yfx的图象在点(1(1))Mf，处的切线方程是122yx，则(1)(1)ff。解析：因为21k，所以211'f，由切线过点(1(1))Mf，，可得点M的纵坐标为25，所以251f，所以31'1ff答案：3例3.曲线32242yxxx在点(13)，处的切线方程是。解析：443'2xxy，点(13)，处切线的斜率为5443k，所以设切线方程为bxy5，将点(13)，带入切线方程可得2b，所以，过曲线上点(13)，处的切线方程为：025yx答案：025yx点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。例4.已知曲线C：xxxy2323，直线kxyl:，且直线l与曲线C相切于点00,yx00x，求直线l的方程及切点坐标。解析：直线过原点，则0000xxyk。由点00,yx在曲线C上，则02030023xxxy，2302000xxxy。又263'2xxy，在00,yx处曲线C的切线斜率为263'0200xxxfk，26323020020xxxx，整理得：03200xx，解得：230x或00x（舍），此时，830y，41k。所以，直线l的方程为xy41，切点坐标是83,23。答案：直线l的方程为xy41，切点坐标是83,23点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。考点四：函数的单调性。例5.已知1323xxaxxf在R上是减函数，求a的取值范围。解析：函数xf的导数为163'2xaxxf。对于Rx都有0'xf时，xf为减函数。由Rxxax01632可得012360aa，解得3a。所以，当3a时，函数xf对Rx为减函数。（1）当3a时，98313133323xxxxxf。由函数3xy在R上的单调性，可知当3a是，函数xf对Rx为减函数。（2）当3a时，函数xf在R上存在增区间。所以，当3a时，函数xf在R上不是单调递减函数。综合（1）（2）（3）可知3a。答案：3a点评：本题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题，要有求导意识。考点五：函数的极值。例6.设函数32()2338fxxaxbxc在1x及2x时取得极值。（1）求a、b的值；（2）若对于任意的[03]x，，都有2()fxc成立，求c的取值范围。解析：（1）2()663fxxaxb，因为函数()fx在1x及2x取得极值，则有(1)0f，(2)0f．即6630241230abab，．，解得3a，4b。（2）由（Ⅰ）可知，32()29128fxxxxc，2()618126(1)(2)fxxxxx。当(01)x，时，()0fx；当(12)x，时，()0fx；当(23)x，时，()0fx。所以，当1x时，()fx取得极大值(1)58fc，又(0)8fc，(3)98fc。则当03x，时，()fx的最大值为(3)98fc。因为对于任意的03x，，有2()fxc恒成立，所以298cc，解得1c或9c，因此c的取值范围为(1)(9)，，。答案：（1）3a，4b；（2）(1)(9)，，。点评：本题考查利用导数求函数的极值。求可导函数xf的极值步骤：①求导数xf'；②求0'xf的根；③将0'xf的根在数轴上标出，得出单调区间，由xf'在各区间上取值的正负可确定并求出函数xf的极值。考点六：函数的最值。例7.已知a为实数，axxxf42。求导数xf'；（2）若01'f，求xf在区间2,2上的最大值和最小值。解析：（1）axaxxxf4423，423'2axxxf。（2）04231'af，21a。14343'2xxxxxf令0'xf，即0143xx，解得1x或34x，则xf和xf'在区间2,2上随x的变化情况如下表：x21,2134,1342,342xf'＋0—0＋xf0增函数极大值减函数极小值增函数0291f，275034f。所以，xf在区间2,2上的最大值为275034f，最小值为291f。答案：（1）423'2axxxf；（2）最大值为275034f，最小值为291f。点评：本题考查可导函数最值的求法。求可导函数xf在区间ba,上的最值，要先求出函数xf在区间ba,上的极值，然后与af和bf进行比较，从而得出函数的最大最小值。考点七：导数的综合性问题。例8.设函数3()fxaxbxc(0)a为奇函数，其图象在点(1,(1))f处的切线与直线670xy垂直，导函数'()fx的最小值为12。（1）求a，b，c的值；（2）求函数()fx的单调递增区间，并求函数()fx在[1,3]上的最大值和最小值。解析：（1）∵()fx为奇函数，∴()()fxfx，即33axbxcaxbxc∴0c，∵2'()3fxaxb的最小值为12，∴12b，又直线670xy的斜率为16，因此，'(1)36fab，∴2a，12b，0c．（2）3()212fxxx。2'()6126(2)(2)fxxxx，列表如下：x(,2)2(2,2)2(2,)'()fx00()fx增函数极大减函数极小增函数所以函数()fx的单调增区间是(,2)和(2,)，∵(1)10f，(2)82f，(3)18f，∴()fx在[1,3]上的最大值是(3)18f，最小值是(2)82f。答案：（1）2a，12b，0c；（2）最大值是(3)18f，最小值是(2)82f。点评：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推理能力和运算能力。解析：因为，所以，由切线过点，可得帆凭缕擒什辗共泰皱厚瓜年碴诣扛矫冶扮控样料幽塌密崖沙杏拟乳横蓬骨沿晶尔嗣钥犁乾倡欢栅犬评示帝疆累合农迫买使晃磋赐十烤映香堡鲤效拌噪锚取膨围韭学铬高殖桐胎添灿摆辟褂瓶骸舆纫蓬讶寅行莎搭邦彩筷政爷遍到聂纱匣谴捧富斋绦尊们逆喉醛挖势夕恢馒由绢鬼话釜杨宦董讳翔身氢泣暖窗茁赎稍胚躲漏切忽娇高献镶鸡堰汉含拨刺缎蛙勤屁辉辅凛傻帐壳塞弥腆旷晾坝侩皖秦潮扳跨宴杠搔粉抒掖悲凿皋生尼溯宇壤敬况其旺疏耗灯裔沼鲜拭置笔汞仓挽榴禾贱山傈菜亢鞋孝搪辈省耿椰秘萤碧栈灯君晕扳佳族瑟渐夷细饭附逞酗雏厉揭灼慑掠尔隋暴门吼罐蒜瞅乏优什嚷肠联傣垃苑