高等计算固体力学作业参考答案.pdf

高等计算固体力学作业参考答案*1.1L)x(00)()(22≤≤=+=xQdxdAφφ,其中，边界⎩⎨⎧≤≤≤=L)x(L/20L/2)x(01)(xQ条件为：0)0(=φ；10==Lxdxdφ。假设近似函数为332210)(xaxaxaax+++=φ，用配点法，子域法和伽辽金法求解。解答:设,余量332210)(xaxaxaax+++=φ)()(22xQdxdxR+=φ由边界条件0)0(=φ,可得00=a;由10==Lxdxdφ可得010322321=−++LaLaa(1)(a)配点法:取x=L/3和2L/3为配点,要求:0)3/(=LR(2)0)3/2(=LR(3)解方程组(1)-(3),可得LaaLa21,1,2/10321=−=+=(b)子域法:取和2/0Lx≤≤LxL≤≤2/为子域,则0)(2/0=∫dxxRL(4)*任何问题请emailto:[e-mail]0)(2/=∫dxxRLL(5)解方程组(1),(4),(5),可得LaaLa31,4/3,2/10321=−=+=(c)伽辽金法.取权函数,则33221,,xWxWxW===0)10()(101=−−=∫LxLdxdWdxxRWφ(6)0)10()(202=−−=∫LxLdxdWdxxRWφ(7)0)10()(303=−−=∫LxLdxdWdxxRWφ(8)解方程组(6)-(8),可得LaaLa165,32/23,321710321=−=+=1.2某问题的微分方程是Ω=++∂∂+∂∂in02222Qcyxφφφ，边界条件为：⎪⎩⎪⎨⎧Γ=∂∂Γ=21nnoqnoφφφ，其中c和Q仅是坐标的函数，证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。解答:微分算子为)()()()(2222cyxL+∂∂+∂∂=,取任意函数u,v,dsnvudsnuvdxdyuvLdsnvudsnyuvnxuvdxdycuyuxuvdsnyvunxvudxdycuvyvyuxvxudxdycvyvxvudxdyvuLyxyx∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∂∂+∂∂−=∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∂∂+∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∂∂∂∂−∂∂∂∂−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∂∂+∂∂=)()(22222222故算子是自伴随的.原问题等价于:(假设φ已满足1Γ上的边界条件)0212121212121)()(222222222222222=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∂∂−∂∂+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∂∂∂∂−∂∂∂∂−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−∂∂−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++∂∂+∂∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ΓΓΓΓΓdsqdxdyQcyxdsqdxdyQcyxdsqdxdyQcyyxxdsqndsndxdyQcyyxxdsqndxdyQcyxφφφφφδδφφφφφδδφδφφδφφδφφδφφδφφδφδφφδφδφφδφφφδφφφφδφ等价的自然变分原理为:()∫∫∫Γ+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−=Π2222212121dsqdxdyQcyxφφφφφφ或()∫∫∫Γ−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=Π2221222dsqdxdyQcyxφφφφφφ1.3问题1.2中设c=0，Q=2,并假设全部边界上0=φ，此为杆件自由扭转的应力函数问题，截面的扭矩∫∫=dxdyTφ2。现假设一4×6的矩形截面杆，给定近似函数为43cos6cos4cos63cos4cos6cos~321yxayxayxaππππππφ++=用里兹法求解并算出截面的扭矩。解答:此时问题的变分原理简化为()∫∫⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=Πdxdyyxφφφφ42122将近似函数代入可以得到：截面的扭矩∫∫=dxdyTφ21.4问题的泛函为：()∫∫ΓΩΓ−−Ω⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂=ΠqdqdQykxk)2(22222φφαφφφφ，求欧拉方程并识别上的自然边界条件和qΓqΓ−Γ上的强迫边界条件。解答:()()()()()()0=Γ⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂+Γ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−∂∂+Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂−=Γ−−Γ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂−⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂−=Γ−−Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡−∂∂∂∂+∂∂∂∂=Γ−−Ω⎥⎦⎤⎢⎣⎡−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂=Π∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫Γ−ΓΓΩΓΓΩΓΩΓΩqqqqqdnkdqnkdQykyxkxdqdnyknxkdQykyxkxdqdQyykxxkdqdQyykxxkyxδφφδφαφφδφφφδφαφδφδφφδφφδφδφφδφφδφαφδφδφδφφδφφδφαφδφδφφδφφδφφδ由变分δφ的任意性,可得相应的欧拉方程和边界条件:0=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂∂∂+⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂∂∂Qykyxkxφφ,内ΩqΓ上的自然边界条件:0=+−∂∂qnkαφφqΓ−Γ上的强迫边界条件:0=δφ,或φφ=1.5圆柱面上的短程线问题。21xy−=解答:方法1：设A,B两点的坐标为(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),并设x=x(s),y=y(s),z=z(s),则dsdxxxdsdy21−−=问题的泛函可以表示为：),()()(11222222zxLdsdsdzdsdxxdzdydxdsLBABABA=+−=++==∫∫∫问题转化为求泛函L(x,z)在满足端点条件下的最小值问题。由0=Lδ可以得到下面的欧拉方程：0])()(11)()1(1[)()(11)()1(2222222222=+−−−+−−dsdzdsdxxdsdxxdsddsdzdsdxxdsdxxx0])()(11)([222=+−−dsdzdsdxxdsdzdsd进一步利用1)()(11222=+−dsdzdsdxx：0])()1(1[21)1(1)()1()()1(2)1(1)()1(])1(1[)()1(222222222222222222222=−−=−−−−=−−−−−=−−−dsdxxdsddsdxdsxdxdsdxxxdsdxxxdsxdxdsdxxxdsdxxdsddsdxxx0)][(=dsdzdsd注意到dx/ds不等于0，否则A,B两点比在同一条母线上，问题的解是显然的。于是得到：432121122122)cos(),(arccos,1,)(11csczcscxcscxdscxdxcdsdxx+=+=→+=→=−−→=−利用1)()(11222=+−dsdzdsdxx，可得：12321=+cc所以最后的方程为：)1sin()1cos(22343223cscycsczcscx+−=+=+−=，剩下的常数由A,B两点的坐标确定。方法2：引入langrange乘子，问题的泛函可以表示为：dxxyxdxdzdxdyxxzxyLxx)1)(()()(1))(),(),((22221−−+++=∫λλ其欧拉方程为：0))()(1()(22=++−dxdzdxdydxdydxdxλ，0))()(1(22=++dxdzdxdydxdzdxd，012=−−xy进一步：)(xdsdyΛ=，3cdsdz=，012=−−xy，dsdyxxdsdx21−−=注意到1)()()(222=++dsdzdsdydsdx，则：1)(12322=+Λcxx，xcx)1()(23−=Λ2232211)(11xcxxxdsdyxxdsdx−−−=Λ−−=−−=dscxxxdsdyxxxdx232221)(111−=Λ−=−=−−，积分得到：,1arccos223cscx+−=进一步得到：)1sin()1cos(22343223cscycsczcscx+−=+=+−=1.6弹性薄板的控制方程为：Dqywyxwxw=∂∂+∂∂∂+∂∂44224442，建立周边固支时的自然变分原理。解答:周边固支的边界条件w=0,0=∂∂nw,均为强迫边界条件，假设事先应该满足。原微分方程等价于下面的形式。0)2(4422444=−∂∂+∂∂∂+∂∂∫∫ΩwdxdyDqywyxwxwδ，其中w满足强迫边界条件.∫∫∫∫∫∫∫∫Τ∂∂∂∂−∂∂∂∂=Τ∂∂+∂∂∂∂−=∂∂ΩΩΩdxwnxwdxdyxwxwwdnxwdxdyxwxwwdxdyxwxx)()()(222222333344δδδδδ∫∫∫∫∫∫∫∫Τ∂∂∂∂−∂∂∂∂=Τ∂∂+∂∂∂∂−=∂∂ΩΩΩdywnywdxdyywywwdnywdxdyywywwdxdyywyy)()()(222222333344δδδδδ∫∫∫∫∫∫∫∫Τ∂∂∂∂∂−∂∂∂∂∂∂=Τ∂∂∂+∂∂∂∂∂−=∂∂∂ΩΩΩdxwnyxwdxdyyxwyxwwdnyxwdxdyxwyxwwdxdyyxwyx)()()(2222323224δδδδδ∫∫∫∫∫Τ∂∂∂∂∂−∂∂∂∂∂∂=∂∂∂ΩΩdywnyxwdxdyyxwyxwwdxdyyxwx)()(222224δδδ相加得：0}])()(21)(21[{)()(}])()(21)(21[{)()()()(])(2)()([)2(222222222222222222222222222222224422444=−∂∂∂+∂∂+∂∂=Τ∂∂∂∂∂∂−Τ∂∂∂∂∂∂−−∂∂∂+∂∂+∂∂=Τ∂∂∂∂∂−Τ∂∂∂∂∂−Τ∂∂∂∂−Τ∂∂∂∂−−∂∂∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=−∂∂+∂∂∂+∂∂∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫ΩΩΩΩdxdywDqyxwywxwdywnwywdxwnwxwdxdywDqyxwywxwdywnyxwdxwnyxwdywnywdxwnxwdxdywDqyxwyxwywywxwxwwdxdyDqywyxwxwxyyxδδδδδδδδδδδδδ故原问题的自然变分原理为：∫∫Ω−∂∂∂+∂∂+∂∂=ΠdxdywDqyxwywxww])()(21)(21[)(22222222或者∫∫Ω−∂∂∂+∂∂+∂∂=ΠdxdyqwyxwDywDxwDw])()(2)(2[)(222222221.7证明两点之间直线最短.解答:假设A,B两点,以A点为坐标原点,AB为x轴建立直角坐标系,连接AB的任意曲线为y=y(x).B点坐标为(x1,0).则问题转换为求下面泛函的极小值.∫∫′+==Π1021)(xBAdxydsy,且要求0)(,0)0(1==xyy由泛函的一阶变分等于0,可以得到:(注意0)()0(1==xyyδδ)0)1()1(11)(111102020202=′+′−=′+′−′+′=′+′′=Π∫∫∫xxxxydxyydxdydxyydxdyyydxyyyyδδδδδ可得问题对应的欧拉方程为:0)1(2=′+′yydxd进一步得到:,cy=′2ccxy+=由边界条件得到y=0,即连接A,B两点的最短距离为直线.1.8已知问题的泛函为∫−′=Π2022)()(πdxyyy,且1)(,0)0(==2πyy,求欧拉方程并求解.解答:,22),(yyyyFF−′=′=yyFdxdyyFyyF′′=′∂∂′=′∂∂−=∂∂2)(,2,2由欧拉公式得到欧拉方程为:022)(=′′−−=′∂∂−∂∂yyyFdxdyF该方程的通解为:xcxcycossin21+=由边界条件可以确定0,121==cc,最后得xysin=