线性规划难题集锦解析版

第1页共47页线性规划难题集锦解析版1．过平面区域内一点P作圆O：x2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，记∠APB=α，则当α最小时cosα的值为（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据数形结合求确定当α最小时，P的位置，利用余弦函数的倍角公式，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，要使α最小，则P到圆心的距离最大即可，由图象可知当P位于点D时，∠APB=α最小，由，解得，即D（﹣4，﹣2），此时|OD|=，|OA|=1，则，即sin=，此时cosα=1﹣2sin2=1﹣2（）2=1﹣=，故选：C【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，要求熟练掌握两角和的倍角公式．第2页共47页2．设m∈R，实数x，y满足，若|2x+y|≤18恒成立，则实数m的取值范围是（）A．﹣3≤m≤3B．﹣6≤m≤6C．﹣3≤m≤6D．﹣6≤m≤0【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4R：转化法；59：不等式的解法及应用．【分析】将不等式恒成立问题转化为平面区域在两条直线之间利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由|2x+y|≤18得﹣18≤2x+y≤18，若|2x+y|≤18恒成立，等价为不等式组对应的平面区域都在直线2x+y=18和2x+y=﹣18之间，即对应的两个直线（红色）之间，作出不等式组对应的平面区域如图，由得，即A（6，6），此时A满足条件.2x+y=18，由得，即B（﹣，﹣3），要使不等式组对应的平面区域都在两条直线之间，则直线y=m满足在直线y﹣=﹣3和y=6之间，则﹣3≤m≤6，故选：C第3页共47页【点评】本题主要考查线性规划的应用，将不等式恒成立转化为平面区域在两条直线之间是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．3．若存在正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，则ln的取值范围为（）A．[1，+∞）B．[1，e﹣1]C．（﹣∞，e﹣1]D．[1，+ln2]【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】由已知得到ln=，求出的范围，利用函数求导求最值．【解答】解：由正实数x，y，z满足≤x≤ez且zln=x，得到，∈[，e]，ln=，设t=，则，t∈[，2]，f'（t）=，令f'（t）=0，得到t=1，所以当时，f'（t）＜0，函数f（t）单调递减；当1＜t≤2时，函数f（t）单调递增；当t=1时函数的最小值为f（1）=1+ln1=1；第4页共47页又f（2）=+ln2，f（）=e﹣1，．又f（）﹣f（2）=e﹣ln2﹣＞e﹣lne﹣=e﹣2.5＞0，所以f（）＞f（2），所以ln的取值范围为[1，e﹣1]；故选B．【点评】本题考查了利用函数的思想求范围问题；关键是将所求转化为已知自变量范围的函数解析式，利用求导得到最值．属于难题．4．已知变量x、y满足约束条件，且z=x+2y的最小值为3，则≥的概率是（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，得到当直线得z=x+2y截距最小时z最小，求出可行域内使直线截距最小的点的坐标，代入x=a求出a的值，利用≥的几何意义，转化求解概率即可．【解答】解：由变量x、y满足约束条件画出可行域如图，第5页共47页由z=x+2y的最小值为3，在y轴上的截距最小．由图可知，直线得z=x+2y过A点时满足题意．联立，解得A（3，0）．A在直线x=a上，可得a=3．则≥的几何意义是可行域内的点与Q（﹣1，0）连线的斜率超过，由图形可知：直线x=3与直线x﹣2y+1=0的交点为：（3，2），直线x﹣2y+3=0与x=3的交点（3，3），∴则＜的概率：=，则≥的概率是：1﹣=．故选：D．【点评】本题考查了简单的线性规划，训练了数形结合的解题思想方法，是难题．5．已知实数x，y满足x2+y2≤1，3x+4y≤0，则的取值范围是（）A．[1，4]B．[，4]C．[1，]D．[，]【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想．【分析】画出x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示区域，化简目标函数，利用目标函数的几何意义，求解即可．【解答】解：实数x，y满足x2+y2≤1，3x+4y≤0，表示的区域如图：则==，表示阴影区域与（3，1）连线的斜率，解得A（，﹣）．B（﹣，），kPB==则==，令y﹣1=k（x﹣3），可得kx﹣y﹣3k+1=0，第6页共47页由题意可得：，可得k=0或k=，∈[，]，1﹣∈[，]．∴∈[，4]．故选：B．【点评】本题考查线性规划的应用，目标函数的几何意义的转化与求解是解题的关键，考查数形结合以及计算能力．6．已知平面直角坐标系中点A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），平面区域D由所有满足（，1＜μ≤b）的点P（x，y）组成的区域，若区域D的面积为8，则b的值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】7C：简单线性规划；9H：平面向量的基本定理及其意义．菁优网版权所有【专题】15：综合题；35：转化思想；44：数形结合法；4R：转化法；5A：平面向量及应用；5B：直线与圆；5T：不等式．【分析】设P点坐标，根据向量数量积的坐标运算，求得λ和μ，由λ和μ的取值范围，即可求得，画出可行域，求得E和F点坐标，利用两点之间的距离公式求得|EF|，根据两平行线之间的距离公式，求得3y﹣x﹣4=0与3y﹣x+4﹣8b=0距离为，根据平行四边形的面积公式，即可求得b的值．第7页共47页【解答】解：设P的坐标为（x，y），∵A（1，﹣1），B（4，0），C（2，2），∴=（x﹣1，y+1），=（3，1），=（1，3），∵（，1＜μ≤b），∴（x﹣1，y+1）=λ（3，1）+μ（1，3）=（3λ+μ，λ+3μ），∴，解得λ=，μ=，∵，1＜μ≤b，∴，即，作出不等式组对应的平面区域，∵，解得：，，解得：，则E（5，3），F（，），则丨EF丨==3y﹣x﹣4=0与3y﹣x+4﹣8b=0距离为，∴平面区域的面积为S=•=8，解得b=3，故选A．第8页共47页【点评】本题考查了向量的平行四边形法则、数量积运算性质、平行四边形的面积计算公式、两平行线之间的距离公式，考查了作图能力、推理能力与计算能力，属于难题．7．已知x，y满足不等式组，关于目标函数z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|最值的说法正确的是（）A．最小值0，最大值9B．最小值2，最大值9C．最小值3，最大值10D．最小值2，最大值10【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；32：分类讨论；4R：转化法；5T：不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，讨论x﹣2y﹣2和x﹣y的符号，取得极大值，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，作出x﹣2y﹣2=0对应的直线，则由图象知平面区域都在直线x﹣2y﹣2=0的左上方，即x﹣2y﹣2＜0，第9页共47页则z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2），当x﹣y≥0，对应的区域在直线x﹣y=0的下方，即平面区域ABED，此时z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2）=x﹣y﹣x+2y+2=y+2，即y=z﹣2，平移直线y=z﹣2，得当直线经过A（1，0）时，y最小，此时z最小，即z=2，当经过E时，y最大，此时z最大，由得，即E（，），此时z=+2=，即此时2≤z≤，当x﹣y＜0，对应的区域在直线x﹣y=0的上方，即平面区域CDE，此时z=|x﹣y|+|x﹣2y﹣2|=|x﹣y|﹣（x﹣2y﹣2）=﹣x+y﹣x+2y+2=﹣2x+3y+2，即y=x+﹣，平移直线y=x+﹣，得当直线经过D时，直线的截距最小，此时z最小，由，得，即D（1，1），此时z=﹣2+3+2=3，当直线经过C时，直线的截距最大，此时z最大，第10页共47页由得，即C（1，3），此时z=﹣2+3×3+2=9，即此时3≤z≤9，综上2≤z≤9，即最小值2，最大值9，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用分类讨论以及数形结合，利用平移法是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．8．在平面直角坐标系中，点P是由不等式组所确定的平面区域内的动点，M，N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点，则的最小值为（）A．4B．C．D．7【考点】7C：简单线性规划；9R：平面向量数量积的运算．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；35：转化思想；4R：转化法；5T：不等式．【分析】设出M，N，P的坐标，根据向量数量积的公式进行转化，利用数形结合转化为线性规划进行求解即可．【解答】解：∵M，N是圆x2+y2=1的一条直径的两端点，∴设M（a，b），N（﹣a，﹣b），则满足a2+b2=1，设P（x，y），则=（a﹣x，b﹣y）•（﹣a﹣x，﹣b﹣y）=﹣（a﹣x）（a+x）﹣（b﹣y）（b+y）=﹣a2+x2﹣b2+y2=x2+y2﹣（a2+b2）=x2+y2﹣1，设z=x2+y2，则z的几何意义是区域内的点到原点距离的平方，作出不等式组对应的平面区域如图：则原点到直线x+y﹣4=0的距离最小，此时d==2，则z=d2=（2）2=8，则=x2+y2﹣1=8﹣1=7，故选：D．第11页共47页【点评】本题主要考查向量数量积以及线性规划的应用，利用坐标系结合斜率数量积的公式转化为线性规划问题是解决本题的关键．考查学生的转化能力．9．已知实数x，y满足，且目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，则的取值范围是（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[﹣，]D．[﹣，3]【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有【专题】31：数形结合；4R：转化法；5T：不等式．【分析】由题意作出其平面区域，则求出点A、B的坐标代入ax+by+c=0，从而求得=﹣2，=2，化简==4（），的几何意义是阴影内的点与点（﹣2，﹣）连线的斜率，从而求解．【解答】解：先作出不等式组对应的区域，∵目标函数z=2x+y的最大值为7，最小值为1，∴作出直线2x+y=7和2x+y=1的图象，由图象知目标函数经过A，B两点，即直线ax+by+c=0过点A，B；由解得，A（3，1）；第12页共47页由解得，B（1，﹣1）；故，解得，=﹣2，=2，且b＞0故==4（），而的几何意义是阴影内的点与点P（﹣2，﹣）连线的斜率，则PB的斜率最小，PC的斜率最大，PB的斜率k==﹣，由得，即C（1，3）PC的斜率k=，即即﹣≤≤，故﹣≤4（）≤；即的取值范围是[﹣，]故选C．第13页共47页【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的最值确定直线过A，B，结合A，B的坐标确定a，b，c的关系，然后转化为两点间的斜率问题是解决本题的关键．10．已知，若x﹣y＜λ恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，10]B．（﹣∞，10）C．[10，+∞）D．（10，+∞）【考点】7C：简单线性规划；4H：对数的运算性质．菁优网版权所有【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】根据对数的性质将不等式转化为不等式组，利用线性规划的知识求函数的最值即可得到结论．【解答】解：∵，∴等价为，即0＜3x+y﹣2＜x+y+4，∴，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x﹣y，则y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线经过点A（3，﹣7）时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z最大，此时z=3﹣（﹣7）=10，即x﹣y＜10，∴要使x﹣y＜λ恒成立，则λ≥10，故选：C．第14页共47页【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，将不等式转化为不等式组，利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键，综合性较强．11．若实数x，y满足，则|3x+y﹣4|+