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第十六章二次根式教材内容本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2）理解a（a≥0）是一个非负数，（a）=a（a≥0），2=a（a≥0）．a2（3）掌握a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b；a=a（a≥0，b0），a=a（a≥0，b0）．bbbb（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观1通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1．二次根式a（a≥0）的内涵．a（a≥0）是一个非负数；（a）＝a（a≥0）；a=a（a≥0）及其运用．222．二次根式乘除法的规定及其运用．3．最简二次根式的概念．4．二次根式的加减运算．教学难点1．对a（a≥0）是一个非负数的理解；对等式（a）2＝a（a≥0）及a=a（a≥0）的理解及应用．22．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下：16．1二次根式3课时3课时3课时2课时16．2二次根式的乘法16．3二次根式的加减教学活动、习题课、小结216．1二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1．重点：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2．难点与关键：利用“a（a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入活动1、填空，完成课本思考1：h65，S，2，5活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义.活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法.活动4、思考下列问题：①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？②定义中为什么要加a≥0？若a0，a表示什么？有无意义？③当a=0时，a表示什么？结果是什么？当a0时，a表示什么？可不可能为负数？a(a≥0)是什么样的数呢？可由学生思考后进行讨论，然后教师订正，最后师生共同归纳得出性质1：a(a≥0)是一个非负数3二、探索新知例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、3、311xy、x（x0）、0、42、-2、、xy（x≥0，y≥0）．x分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x（x0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；不是二次根式的有：11xy33、、42、．x例2．当x是多少时，3x1在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，3x1才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥13当x≥1时，3x1在实数范围内有意义．3三、巩固练习教材P3练习1、2．四、应用拓展1x1例3．当x是多少时，2x3+在实数范围内有意义？1x1分析：要使2x3+在实数范围内有意义，必须同时满足1x12x3中的≥0和中的x+1≠0．4解：依题意，得2xx13003由①得：x≥-2由②得：x≠-131x1当x≥-且x≠-1时，2x3+在实数范围内有意义．2例4(1)已知y=2x+x2+5，求x的值．(答案:2)y(2)若a1+b1=0，求a+b的值．(答案:2)520042004五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业习题16.1第1、5题516.1二次根式(2)第二课时教学内容1．a（a≥0）是一个非负数；2．（a）=a（a≥0）．2教学目标理解a（a≥0）是一个非负数和（a）=a（a≥0），并利用它们进2行计算和化简．通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a）=a（a≥0）；2最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1．重点：a（a≥0）是一个非负数；（a）=a（a≥0）及其运2用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出（a）=a（a≥0）．2教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0时，a叫什么？当a0时，a有意义吗？老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）6a（a≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出a（a≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）=_______；（9）=______；（3）222=_______；17（）2=______；（）2=_______；（0）2=_______．32老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）=4．213同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（）=1，（7）=0，所以=7，（0）222232（a）2=a（a≥0）例1计算354．（7）21．（）22．（35）23．（）2226分析：我们可以直接利用（a）=a（a≥0）的结论解题．2323解：（（）2=，（35）2=32·（5）=3·5=45，2225=，（7）5=(7)）226227．6224三、巩固练习计算下列各式的值：29）47）（18）2（）2（2（0）2（48237(35)(53)22四、应用拓展例2计算1．（x1）4．（4x12x9）（x≥0）2．（a2）3．（a2a1）222222分析：（1）因为x≥0，所以x+10；（2）a≥0；（3）2+2a+1=（a+1）≥0；a2（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a）解：（1）因为x≥0，所以x+102=a（a≥0）的重要结论解题．（x1）=x+12（2）∵a（3）∵a22≥0，∴（a2）=a22+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）（4）∵4x-12x+9=（2x）又∵（2x-3）-12x+9≥0，∴（4x例3在实数范围内分解下列因式:（1）x（2）x2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴a2a1=a22+2a+122-2·2x·3+32=（2x-3）22≥0∴4x2212x9）2=4x2-12x+92-34-4(3)2x2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1．a（a≥0）是一个非负数；2．（a）=a（a≥0）;反之:a=（a）（a≥0）．22六、布置作业习题16.1第2（1）-（4）、4、7题．816.1二次根式(3)第三课时教学内容a＝a（a≥0）2教学目标理解a2=a（a≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究a=a（a≥0），并利用这个结论解决具2体问题．教学重难点关键1．重点：a＝a（a≥0）．22．难点：探究结论．3．关键：讲清a≥0时，a＝a才成立．2教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1．形如a（a≥0）的式子叫做二次根式；2．a（a≥0）是一个非负数；3．(a)2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0时，a2=a是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：9122=_______；0.012=_______；()2=______；10(2)3=________；0=________；(3)=_______．2227（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：1=1；(2)=2；0=0；(3)22=2；0.012=0.01；()2222=10103373．7因此，一般地：a=a（a≥0）2例1化简（1）9（2）(4)2（3）25（4）(3)2，（3）25=5分析：因为（1）9=-3，（2）（-4）22=422，（4）（-3）解：（1）9=3（3）25=52=32，所以都可运用a2=a（a≥0）去化简．2=3（2）(4)2=4=32=4=32=5（4）(3)22三、巩固练习教材P4练习2．四、应用拓展例2填空：当a≥0时，a=_____；当a0时，a=_______，22并根据这一性质回答下列问题．（1）若a（2）若a22=a，则a可以是什么数？=-a，则a可以是什么数？（3）a分析：∵a二空格就不行，应变形，使“（）=(a)2a，则a可以是什么数？=a（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第22”中的数是正数，因为，当a≤0时，a22，那么-a≥0．10（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知a=│a│，而│a│要大于a，只有什么时候2才能保证呢？a0．解：（1）因为a（2）因为a=-a，所以a≤0；（3）因为当a≥0时a=a，要使aa，即使aa所以a不存在；2当a0时，a=-a，要使aa，即使-aa，a0综上，a0-(12x)2=a，所以a≥0；2222例3当x2，化简(x2)分析：(略)22．五、归纳小结本节课应掌握：a=a（a≥0）及其运用，同时理解当a0时，2a2＝－a的应用拓展．六、布置作业习题16.1第2（5）-(8）、3、8、9题1116．2二次根式的乘除第一课时教学内容a·b＝ab（a≥0，b≥0），反之ab=a·b（a≥0，b≥0）及其运用．教学目标理解a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0），并利用它们进行计算和化简由具体数据，发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）并运用它进行计算；利用逆向思维，得出ab=a·b（a≥0，b≥0）并运用它进行解题和化简．教学重难点关键重点：a·b＝ab（a≥0，b≥0），ab=a·b（a≥0，b≥0）及它们的运用．难点：发现规律，导出a·b＝ab（a≥0，b≥0）．关键：要讲清ab（a0,b0）=aAb，如(2)(3)=(2)(3)或(2)(3)=23=2×3．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们完成下列各题．121．填空（1）4×9=_______，49=______；（2）16×25=_______，1625=________．（3）100×36=________，10036=_______．参考上面的结果，用“、或＝”填空．4×9_____49，16×25_____1625，100×36________100362．利用计算器计算填空（1）2×3______6，（2）2×5______10，（3）5×6______30，（4）4×5______20，（5）7×10______70．老师点评（纠正学生练习中的错误）二、探索新知（学生活动）让3、4个同学上台总结规律．老师点评：（1）被开方数都是正数；（2）两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数．一般地，对二次根式的乘法规定为a·b＝ab．（a≥0，b≥0）反过来:ab=a·b（a≥0，b≥0）例1．计算11（1）5×7（2）×9（3）9×27（4）×236分析：直接利用a·b＝ab（a≥0，b≥0）计算即可．解：（1）5×7=3513113（2）×9=9=33（3）9×27