2020届山西省大同四中联盟体高三3月模拟考试数学(理)试题

1页2020届山西省大同四中联盟体高三3月模拟考试数学（理）试题命题人：审题人：满分150分考试时间：120分钟；第I卷（选择题，共60分)一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合2{|560}Axxx，{|31,}BxxkkZ，则AB等于（）A．{2,3,4}B．{1,2,3}C．{2,5}D．{1,4}2．已知复数z满足：（2＋i）z＝1－i，其中i是虚数单位，则z的共轭复数为（）A．15－35iB．15＋35iC．13iD．13i3．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数为（）A．f(x)＝cos,022xxxxB．f(x)＝2121xxC．f(x)＝||xxD．f(x)＝x2ln(x2＋1)4．数列na中，22a，60a，且数列11na是等差数列，则4a等于（）2页A．12B．13C．14D．165．某电视台的夏日水上闯关节目中的前四关的过关率分别为56，45，35，12，只有通过前一关才能进入下一关，其中，第三关有两次闯关机会，且通过每关相互独立.一选手参加该节目，则该选手能进入第四关的概率为（）A．725B．25C．1225D．14256．已知正三棱柱111ABCABC的顶点都在球O的球面上，2AB，14AA，则球O的表面积为（）A．323B．32C．64πD．6437．函数lg1()xxfxx的函数图象是（）A．B．C．D．8．在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM＝2MA，CN＝2NA，则BC·OM的值为()3页A．－15B．－9C．－6D．09．已知30,,0,,sin2sin,cos222的最小值为A．53B．55C．12D．2310．已知正四棱锥SABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AESD，所成的角的余弦值为（）A．13B．23C．33D．2311．已知双曲线2222xy1(a0,b0)ab，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为()A．21B．31C．2D．512．设[]x表示不大于实数x的最大整数，函数2ln[ln]1,0()(1),0xxxxfxeaxx，若关于x的方程()1fx有且只有5个解，则实数a的取值范围为（）A．(,1)B．(,)eC．(,1]D．(,]e第II卷（非选择题，共90分)二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分)4页13．已知P为椭圆214xy上任意一点，1F，2F是椭圆的两个焦点.则2212PFPF的最小值为________.14．已知函数22ln3fxxaxx，若2x是函数fx的极小值点，则实数a的值为________.15．设满足约束条件若目标函数的最大值为,则的最小值为_________．16．设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{1na}的前10项的和为__．三、解答题共70分.解答题营写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个实体考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必做题.共5小题，每小题12分，共60分17．在ABC中，角,,ABC对边分别为,,abc，且满足221,bcabcbc．（1）求ABC的面积；（2）若1coscos4BC，求ABC的周长．18．如图，在四面体ABCD中，E，F分别是线段AD，BD的中点，90ABDBCD，2EC，2ABBD，直线EC与平面ABC所成的角等于30．（1）证明：平面EFC平面BCD；（2）求二面角ACEB的余弦值．19．为了适当疏导电价矛盾，保障电力供应，支持可再生能源发展，促进节能减排，某省于2018年推出了5页省内居民阶梯电价的计算标准：以一个年度为计费周期、月度滚动使用，第一阶梯电量：年用电量2160度以下(含2160度)，执行第一档电价0.5653元/度；第二阶梯电量：年用电量2161至4200度(含4200度)，执行第二档电价0.6153元/度；第三阶梯电量：年用电量4200度以上，执行第三档电价0.8653元/度.某市的电力部门从本市的用电户中随机抽取10户，统计其同一年度的用电情况，列表如下表：用户编号12345678910年用电量(度)1000126014001824218024232815332544114600(1)试计算表中编号为10的用电户本年度应交电费多少元？(2)现要在这10户家庭中任意选取4户，对其用电情况作进一步分析，求取到第二阶梯电量的户数的分布列；(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电情况，现从全市居民用电户中随机地抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值.20．已知抛物线C：2y=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，QMQO，QNQO，求证：11为定值．21．已知函数1lnfxxx，2102gxaxxx，（1）求f(x)的单调区间；（2）如果函数Txfxgx有两个极值点1x、2x，求证：1216xx.（参考数据：21.41，ln20.69，2.72e，e为自然对数的底数）（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。6页22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为sincossincosxy（为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的方程为12sin042，已知直线l与曲线C相交于,AB两点，求AB．23．设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，112amn(m0，n0)，求证：m＋2n7页大同四中联盟校2019—2020学年第二学期高三年级高考模拟试题理科数学参考答案及评分标准一、选择题（本题包括12小题，每小题5分，共60）1．D2．B.3．B4．A5．D6．D7．A8．C9.A10．C11．B12．A二、填空题（本题包括4小题，每小题5分，共20分）13．814．1215．16．2011三、解答题（本题共70分）17．（1）∵222bcabc，∴1cos2A，即060A，∴13sin24ABCSbcA；4分（2）∵1coscos2ABC，∴1sinsincoscos2BCBC由题意，1coscos4BC，∴3sinsin4BC，6分∵24sinsinsin3abcABC，∴1a，8分∴22222213bcabcbcbc10分∵2221bca，∴2bc．∴ABC的周长为123abc．12分8页18．（Ⅰ）在tRBCD中，F是斜边BD的中点，所以112FCBD.因为,EF是,ADBD的中点，所以112EFAB，且2EC，所以222EFFCEC，所以EFFC.又因为,//ABBDEFAB，所以EFBD，又BDFCF，所以EF平面BCD，因为EF平面EFC，所以平面EFC平面BCD．6分（Ⅱ）方法一：取AC中点M，连ME，则//MECD，因为122CEAD，所以CDAC.又因为CDBC，ACBCC，9页所以CD平面ABC，所以ME平面ABC．因此ECM是直线EC与平面ABC所成的角．故22cos306ACMCEC，所以2CDBC.过点B作BNAC于N，则BN平面ACD，且233ABBCBNAC．过点B作BHEC于H，连接HN，则BHN为二面角ACEB的平面角．因为2BEBCEC，所以22366,226BHBEHNBHBN，所以1cos3HNBHNBH，因此二面角ACEB的余弦值为13．12分方法二：如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz．因为2CDBC(同方法一,过程略)10页则1,1,0C，0,0,2A,0,1,1E．所以=1,0,1CE,0,1,1BE,0,1,1AE，设平面ACE的法向量111,,mxyz，则·0C?0AEmEm，即111100yzxz，取11x,得1,1,1m．设平面BCE的法向量222,,nxyz则·0·0BEnCEn，即222200yzxz，取21x,得1,1,1n．所以·11cos,=333mnmnmn，由图形得二面角ACEB为锐角，因此二面角ACEB的余弦值为13．12分19．(1)因为第二档电价比第一档电价多0.05元/度，第三档电价比第一档电价多0.3元/度，编号为10的用电户一年的用电量是4600度，则该户本年度应交电费为4600×0.5653＋(4200－2160)×0.05＋(4600－4200)×0.3＝2822.38(元).4分（2）设取到第二阶梯电量的用户数为X，可知第二阶梯电量的用户有4户，则X可取0，1，2，3，4.04464101014CCPXC,13464108121CCPXC，2246410327CCPXC11页31464104335CCPXC,404641014210CCPXC，故X的分布列为X01234p114821374351210所以1834180123414217352105EX．8分（3）由题意可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足2~10,5XB，可知10102355kkkPXkC，0,1,2,3,10k由10191101010111110102323555523235555kkkkkkkkkkkkCCCC,解得172255k，*kN所以当4k时概率最大，故4k.12分20．解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．2分12页由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由241yxykx得222410kxkx．依题意2224410kk，解得k0或0k1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．4分（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知12224kxxk，1221xxk．6分直线PA的方程为112211yyxx．令x=0，得点M的纵坐标为1111212211Mykxyxx．同理得点N的纵坐标为22121Nkxyx．8分由=QMQO，=QNQO得=1My，1Ny．9分所以2212121212122224211111111=21111111MNkxxxxxxkkyykxkxkxxkk