雨中行走问题(数学问题解决)

1科目：数学问题解决摘要：雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅有一公里，况且事情紧急，你不准备花时间翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你也不打算再回去了。一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事实是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但是如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。通过建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度，分别从雨与人的方向以及是否在同一平面等情况找出如何在雨中行走才能淋雨最少。一．问题的提出对于雨中行走这个实际的问题，它的背景是简单的，人人皆知无需进一步讨论。我们的问题是：要在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最低。显然它可以按确定性模型处理。分析参与这一问题的因素，主要有：①降雨的大小；②风（降雨）的方向；③路程的远近与你跑的快慢。2二、模型假设1、降雨的速度（即雨滴下落速度）和降水强度（单位时间平面上降下雨水的厚度）保持不变；2、你以定常的速度跑完全程；3、风速始终保持不变；4、把人体看成一个长方体的物体；三、模型的建立与求解1、不考虑降雨的角度的影响即在你行走的过程中身体的前后左右和上方都将淋到雨水。参数与变量：:d雨中行走的距离；:t雨中行走的时间；:v雨中行走的速度；:a你的身高；:b你的宽度;:c你的厚度；:q你身上被淋的雨水的总量；:w降水强度（降雨的大小，即单位时间平面上降下雨水的厚度，厘米/时）行走距离d，身体尺寸不变，从而身体被雨淋的面积22sbacabc是不变的，可认为是问题的参数。雨中行走的速度v，从而在雨中行走的时间/tdv及降雨强度的大小在问题中是可以调节、分析的，是问题中的变量。考虑到各参数取值单位的一致性，可得在整个雨中行走期间整个身体被淋的雨水的总量是：3(/3600)0.01()/(/3600)10()qtwSdvwS米升模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。模型中的参数可以通过观测和日常的调查资料得到。设d=1000米,h=1.5米,b=0.5米,c=0.2米,可得S=2.2米2,再假设降雨强度w=2厘米/小时,v是模型中的变量。模型表明：被淋在身上的雨水的总量与你在雨中行走的速度成反比。若你在雨中以可能快的速度v=5米/秒向前跑，于是你在雨中将行走t=200秒。由此，可得你身上被淋的雨水的总量为3q=200×(2/3600)×2.2×10=2.44(升)仔细分析，这是一个荒唐的结果，你在雨中只跑了200秒的时间，身体上却被淋了2.44升的雨水（大约有四酒瓶的水量），这是不可思议的。因此这表明，我们得到的这个模型用来描述雨中行走的人被雨水淋湿的状况是不符合实际情况的。按照建模的程序，需要回到对问题所作的假设，推敲这些假设是否恰当。这时我们发现不考虑降雨的角度的影响这个假设把问题简化得过于简单了。2、考虑降雨角度的影响此时降雨强度已经不能完全描述降雨的情况了。设雨滴下落的速度为u（米/秒），降雨的角度（雨滴下落的反方向与你前进的方向之间的夹角）为，显然，降雨强度将受降雨速度的影响，但它并不完全决定于降雨的速度，它还决定于雨滴下落的密度。假设用P来度量雨滴的密度，称为降雨强度系数，它表示在一定的时刻在单位体积的空间内由雨滴所占据空间的比例数。于是有wpu，显然1p，当1p时意味着大雨倾盆，有如河流向下的倾泻一般。在这个情形下要估计你被雨水淋湿的程度，关键是考虑到你在雨中的行走方向之后雨滴相对的下落方向，这个方向由下图给出。因为雨水是迎面而落下的，由经验可知，这时被淋湿的部位将仅仅是你的顶部和前方。雨中行走模型图因此，淋在你身上的雨水将分两部分计算。①你的顶部被淋的雨水，顶部的面积是bc，雨滴的垂直速度的分量是sinu。不难得到，在时间/tdv内淋在你的顶部的雨水量是1(/)(sin)qdvbcpu②你的前方表面淋雨的情况，前方的面积是ba，雨速的分量是cosuv，类似地我们有，你的前方表面被淋到的雨水量是：2(/)[(cos)]qdvbapuv因此你在整个的行程中被淋到的雨水总量为a412[sin(cos)]Pbdqqqcuauvv仍然沿用前面得到的参数值，如果假设落雨的速度是4/ums，由降雨强度2/w厘米小时，可估计出它的强度系数61.3910p，把这些参数值代入上式可得：46.9510(0.8sin6cos1.5)qvv在这个模型中有关的变量是v和，因为是落雨的方向，我们希望在模型研究过程中改变它的数值，而v是我们要选择的雨中行走的速度。于是，我们的问题就变为给定，如何选择v，使得q是最小的。四、模型讨论下面分各种情况对模型进行讨论：1.30此时，雨滴垂直落下。由上述模型可得46.9510(1.50.4/33/)qvv模型表明，q是v的减函数，只有当速度取可能的最大值的时候q达到最小。假设你以v=5米/秒的速度在雨中猛跑，由模型可得4318.209101.821q米升用MATLAB可以画出30时的平面图：2.0此时，雨滴将迎面向你身上落下，由上述模型得46.9510[1.56/]qv5同理，它将在5v米/秒时取最小:418.765101.8765q3米升用MATLAB可以画出θ在090之间的三维图：3.90180此时，雨滴将从后面向你身上落下。令90，则090.46.9510[1.5(0.8cos6sin)/]qv对于充分大的，这个表达式可取负值，这当然是不合理的。因为雨水量是不可能为负值的，主要原因是这个情况超出了我们前面讨论的范围，因此必须回到开始的分析过程对这个情况进行详细的讨论，按照你在雨中行走的速度分两种情况。雨从背面而来模型图（1）考虑sinvu的情形a6此情形也就是说你的行走速度慢于雨滴的水平运动速度，这时雨滴将淋在你的背上，淋在背上的雨水的量为(sin)/pbdauvv，于是淋在全身的雨水的总量为[cos(sin)]/qpbdcuauvv再次代入数据，可得46.9510[(0.8cos6sin)/1.5]qv它也是速度的减函数，当你以速度sin4sinvu在雨中行进时，淋雨量的表达式可简化为46.9510(0.8cos)/(4sin)]q它表示你仅仅被头顶部位的雨水淋湿了。如果雨是以120的角度落下，也就是雨滴以30角从后面落在你的背上，你应该以4sin302/ms的速度在雨中行走，这时，你身上被淋湿的雨水的总量为436.9510(0.83/2)/20.24q米升实际上，这意味着你刚好跟着雨滴向前走，所以身体前后却没有淋到雨。如果你的速度低于2/ms，则由于雨水落在背上，而使得被淋的雨量增加。用MATLAB可以画出θ在030之间的三维图（2）sinvu的情形你在雨中的奔跑速度比较快，要快于雨滴的水平运动速度2/ms，这时你将不断地追赶雨滴，雨水将淋你的胸前，被淋的雨量是(sin)pbadvu,于是全身被淋的雨水总量为[cos(sin)]/qpbducavuv当5v米/秒，且30时，有7436.9510(0.434.5)/50.722q米升五、结论综合上面的分析，从这个模型我们得到的结论是：①如果雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应该以最大的速度向前跑。②如果雨是从你的背后落下，这时你应该控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。六、模型的评价与讨论所得到的这些结果似乎是合理的并且与我们所期望的是一致的。我们的第二个更详细的模型对第一个模型的改进之处在于建模时考虑了落雨的方向并且更全面地考虑了各种可能发生的情况。所有的雨水量的结果都比第一个模型得到的2升要小。同样所得到的结果的数量级也是我们所希望的。真正使用实际的数值结果来验证这个模型是困难的。当然如果你不怕全身淋湿的话，也可以尝试在雨中行走来验证我们的模型，即使如此，如何在雨中控制你的行走速度也并非易事。参考文献[1]王永波，数学建模及其基础知识详解（第一版）武汉武汉人民大学出版社2006年5月[2]赵静，数学建模与数学实验（第二版）北京高等教育出版式社2003年[3]刘峰，数学建模南京南京大学出版社2005年[4]薛毅，数学建模基础北京北京工业大学出版社2004年4月