初中几何定理归纳整理

1初中几何定理归纳整理图形认识初步1.两点确定一条直线；2.两点之间，线段最短；3.等角的余角相等；4.等角的补角相等；5角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，6.角角平分线的判定定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。相交线与平行线1、余角、补角、对顶角（相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；对顶角相等。2、垂直（1）垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短；（2）线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线；（3）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等(4)线段垂直平分线的判定定理：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上；3、平行（1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。（2）平行线的性质：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补。（3）平行线的判定：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行。（4）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。（5）平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。三角形1、三角形的有关性质（三角形具有稳定性）①三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800；2推论：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和；③三角形的外角和定理：n边形内角和：n边形内角和是(n-2)180°n边形外角和是360°；④三角形的三条角平分线交于一点（内心）；⑤三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；⑥三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半；2、全等三角形（1）定义：两个能够重合的三角形是全等三角形。（2）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。（3）三角形全等的条件：①边角边（SAS）：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。②角边角（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。③角角边（AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。④边边边（SSS）：有三边对应相等的两个三角形全等。⑤斜边、直角边（HL）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。3、等腰三角形（1）等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。（2）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。4、等边三角形（1）等边三角形的性质：①等边三角形的三个内角都相等，每一个角都等于60°；②等边三角形三边上都有三线合一的性质。（2）等边三角形的判定：①三个角都相等的三角形是等边三角形；②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。5、直角三角形（1）直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半。（2）直角三角形的判定：①有两个角互余的三角形是直角三角形；②如果三角形的三边长a、b、c满足关系c2＝a2＋b2，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。且最长的边c所对的角为直角。6、三角函数：在Rt△ABC中，∠C＝900，SinA＝∠A的对边斜边，cosA＝∠A的邻边斜边，tanA＝∠A的对边∠A的邻边；sinA＝cosB；0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0。α300450600Sinα122232Cosα322212tanα33133∠A越大，∠A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。特殊角的三角函数值：四边形1、平行四边形（中心对称图形）（1）平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离；两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等。（3）平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分。（4）平行四边形的判定：①定义法：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形④对角线互相平分的四边形是平行四边形。⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；2、矩形（轴对称图形）（1）定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)。（2）矩形的性质：①两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分；（3）矩形的判定：①定义法：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。3、菱形（轴对称图形）（1）定义：。（2）菱形的性质：；①菱形的四边相等，两组对边分别平行；②对角相等，邻角互补；③菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（3）菱形的判定：①定义法：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②四边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。4、正方形（既是轴对称又是中心对称）（1）定义：四条边都相等且一个角是直角的四边形叫做正方形。（2）正方形的性质：；①正方形的四边相等，对边平行；②正方形的四个角都是直角；③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（3）正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。轴对称1定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，4称这两个图形为轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中对应的点叫做对称点。2、轴对称的基本性质：.如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，即对应点所连的线段被对称轴平分；3、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形。图形的平移1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小。①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据。2、平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等。注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据。图形的旋转1、图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等；2、中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转1800，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。3、关于中心对称的两个图形是全等形；4、.关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分.5、平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形。圆1、圆有关的概念（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。其中，定点为圆心，定长为半径。（2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。5（3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角。（4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。（5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。2、圆的有关的性质（1）圆既是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴，圆又是中心对称图形；（2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；垂径定理推论：平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；（4）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；（5）圆周角定理推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等②半圆或直径所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径；（6）圆内接四边形的对角互补；（7）不共线三点确定一个圆；（8）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（9）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；（10）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；3、三角形的内心和外心（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆；（2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心；（3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。4、点与圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点在圆外←→d＞r，点在圆上←→d＝r，点在圆内←→d＜r。5、直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离。设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交←→d＜r，直线与圆相切←→d＝r，直线与圆相离←→d＞r。6、圆与圆的位置关系：设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则6（1）两圆外离←→d＞R＋r；（2）两圆外切←→d＝R＋r；（3）两圆相交←→R－r＜d＜R＋r（R＞r）；（4）两圆内切←→d＝R－r（R＞r）；（5）两圆内含←→d＜R—r（R＞r）。7、圆有关的计算：（1）弧长计算公式：l＝nπR180（R为圆的半径，n0是弧所对的圆心角的度数，l为弧长）（2）扇形面积：S扇形＝nπR2360或S扇形＝12lR（R为半径，n0是扇形所对的圆心角的度数，l为扇形的弧长）（3）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。该直角边叫圆锥的轴。S侧＝12l·2πr＝πrlS表＝S侧＋S底＝πrl＋πr2＝πr（l＋r）相似1、比例的基本性质：如果ab＝cd，则ad＝bc，如果ad＝bc，则ab＝cd（b≠0，d≠0）。2、相似三角形的判定：①定义法：三边对应成比例，三组角对应相等；②平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；；③三边对应成比例的两个三角形相似。④两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似；⑤两组角对应相等的两个三角形相似；3、相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比等于相似比；④相似三角形的周长之比等于相似比⑤相似三角形的面积比等于相似比的平方。4、位似的概念(1)位似图形：对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形.（2）位似中心：在位似图形中，对应顶点连线的交点叫位似中心.（3）位似与相似的关系：①位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点.②如果两个图形是位似图形那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形