一阶微分方程学习中的几个注意问题

龙源期刊网一阶微分方程学习中的几个注意问题作者：陈传峰来源：《科教导刊》2012年第30期摘要本文分析了求解一阶常微分方程时容易产生疑惑的几个问题，提出了正确处理的方法。关键词一阶微分方程通解积分常数中图分类号：G642文献标识码：A同济大学版《高等数学》从第五版改到第六版后，常微分方程的内容从最后一章调整到了一元微积分之后，多元微积分之前，内容也有所调整，少了全微分方程的内容。这样，一阶常微分方程的学习内容也从三大类型改为了两大类型，即可分离变量方程和一阶线性方程，这两类方程的求解方法也是求解齐次方程，贝努里方程，高阶可降阶微分方程的基本方法，学好这两类方程的求解，就可以为学好整章书打下坚实的基础。下面，就求解两类方程的学习中容易出现的问题做一些分析。1求解可分离变量微分方程的注意问题在求解可分离变量方程中，比较容易引出问题的地方是把变量分离之后做积分时，积分常数是用还是用，两者都是任意常数，一般认为，如果积分后出现了变量的对数时，常数就用，这样可以使后续的化简较为简单，但实际情况并不如此，我们以文献[1]的例题为例。对于积分后不出现变量的对数的可分离变量方程，常数用即可。在求解一阶线性微分方程+（）=（）的学习中，由于文献[1]是在推导出求解公式后，再用常数变异法去求解紧接的例题，而没有直接用公式解，这无疑给学生（特别是有些自学能力强的学生）一个错误的信息，即只能用常数变异法去求解一阶线性微分方程而忽略用推导出的公式这一强大的工具去求解，这对于学习求解一阶线性微分方程来说是不完美的，最好的办法是用常数变异法解完后，再用公式解一次，让学生体会两种方法的优劣而选用自己认为合适的一种。而且，在公式的使用上，有两个地方需要注意，一是公式里出现的所有不定积分都不带常数，因为推导公式时所有的积分常数与积分是分开写的，这才出现常数变异法，如果常数放在积分里面，就无法常数变异了，再一个是凡出现型的积分结果都不带绝对值，如果带上绝对值，就会影响到接下来的化简，我们以例题来说明。对上面的解答作以下的分析：如果积分的结果用，那么②就应该为[]，积分号里的∣∣与不能约去，必然影响到积分的运算。但仔细观察，如果0，结果就是[]，如果龙源期刊网上面的解答中，的结果如果是不定积分的计算，结果应是，但在解一阶线性微分方程的公式里，就直接写成，这样解答过程就简化了许多。综上所述，在解一阶微分方程的过程中，无论是分离变量方程还是一阶线性方程，当积分的结果出现对数时，不写绝对值可以使化简的过程简单，掌握了这一点，一阶微分方程的求解就变得容易了。参考文献[1]同济大学应用数学系.高等数学（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.