现代信号处理第二章：随机信号的累积量谱(1)

研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学第二章随机信号的累积量谱2.1引言本章主要讨论平稳随机过程的矩和累积量以及矩谱和累积量谱的定义和性质。虽然随机信号在每一时刻的取值不能确切知道，但他们的高阶统计量（矩和累积量）如果存在的话，是多维确定性函数，并具有特殊的对称性。本章首先定义一组随机变量的矩，并建立他们之间的关系。然后，介绍平稳随机过程的矩谱和累积量谱的定义和性质。讨论线性非高斯过程的累积量谱以及他们与非线性过程的累积量谱之间的相似与差异。本章的主要目的是介绍与多谱相关的所有重要的定义和性质，他们在随机信号处理方法的应用中将是非常有用的。2.2矩和累积量2.2.1定义给定一组n个实随机变量，它们的},,,{21nxxx12nrkkk阶的联合矩定义为：02121212121212121),,,()(}{],,,[nnnnknkknrrknkkknkkjxxxExxxMom（2.1）其中))(exp(),,,(221121nnnxxxjE为它们的联合特征函数（JointCharacteristicFunction），E表示取数学期望运算。例：对于两个随机变量{x1,x}，有二阶矩2Mom[x1,x]=E{x1,x}互相关22Mom[x]=E{x}均方值2121Mom[x]=E{x}均方值2222第二特征函数定义为],,(ln[),,,(2121nn（2.2）同一组随机变量的r阶联合累积量（JointCumulant）或半不变量（semi-invariants）定义为第二特征函数关于零点的Taylor级数展开的系数，即],,,[2121nknkkxxxCum授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日4研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日50212121212121),,,(~)(],,,[nnnknkknrrknkkjxxxCum（2.3）因此，联合累积量可以用联合矩表示。例如，随机变量{x1}的矩}{][111xExMomm}{],[21112xExxMomm}{],,[311113xExxxMomm}{],,,[4111114xExxxxMomm可以与其累积量相联系：111][mxCumc212112],[mmxxCumc31123111323],,[mmmmxxxCumc22411114312211[,,,]43126cCumxxxxmmmmmmm4(2.4)上述关系的证明可将下式kkmkjmmj!)(!21)(1221111代入到（2.1），（2.2），（2.3）式，并在零点取微分得到。如果，即零均值变量，则有0}{11mxE22mc，33mc，。22443mmc例2.1考虑图2.1所示的3个对称概率密度函数pdf，即Laplace分布、Gaussian分布和均匀分布，他们的n阶矩（4,3,2,1n）可以用下式计算dxxfxmnn)(其中为x的概率密度函数pdf。)(xf由（2.1）式可计算特征函数dxxfxj)()exp()(其累积量可用（2.4）式计算。4,3,2,1,ncnLaplace分布：)exp(5.0)(xxf)(xfx0nmncn10022230042412研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学Gaussian分布：2222exp25.0)(xxfnmncn1002223004340)(xfx0均匀分布：nmncn100232c32c300454c1524c)(xfx0ccc21图2.1三种对称分布pdf的n阶矩和累积量由图2.1可以看出：1．对于对称pdf，所有n为奇数的mn和cn均为零；2．对于Gaussian分布，所有n2的累积量cn均为零。例2.2图2.2示出三个非对称pdf，即指数分布，瑞利分布以及n=1,2,3,4阶矩。指数分布：)()exp()(xuxxfnmncn1112222133632442446)(xfx0授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日6研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学瑞利分布：)()2exp()(222xuxxxfnmncn1222222)22(3233233448]8312[2124)(xfx0图2.2三种非对称分布pdf的n阶矩和累积量可以看出，对于具有非对称pdf的随机过程，其各阶矩和累积量均不为零。2.1.2矩和累积量的关系随机变量的矩和联合累积量的关系如下},,,{21nxxx}{}{}{)!1()1(],,,[21121psiisiisiipnxExExEpxxxcum(2.5)其中，求和是对整数集的所有的划分子集,进行，p为划分子集数。上式简称为C-M公式。),,2,1(n),,,(21psssnp,,2,1例如，整数集可划分为如下子集)3,2,1(1p}3,2,1{1s2p}1{1s}3,2{2s}2{1s}3,1{2s}3{1s}2,1{2s3p}1{1s}2{2s}3{3s则(2.5)式变为}{}{}{2}{}{}{}{}{}{}{],,[321213312321321321xExExExxExExxExExxExExxxExxxcum(2.6)显然，若可得(2.4)式的。321xxx3c同样，对于可得},,,{4321xxxx],,,[4321xxxxcum授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日7研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日8}{}{}{}{6}{}{}{2}{}{}{2}{}{}{2}{}{}{2}{}{}{2}{}{}{2}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{],,,[4321413221433142324142314321321442134312432132414231432143214321xExExExExExExxExExExxExExExxExExExxExExExxExExExxExxxExExxxExExxxExExxxExExxExxExxExxExxExxExxxxExxxxcum(2.7)对于零均值随机变量,即},,,{4321xxxx4,3,2,1,0}{ixEi，则(2.7)式简化为著名的关系式}{}{}{}{}{}{}{],,,[32414231432143214321xxExxExxExxExxExxExxxxExxxxcum(2.8)对于高斯过程有0],,,[4321xxxxcum，则有1234123413241423[]{}{}{}{}{}{ExxxxExxExxExxExxExxExx}(2.5)式意味着计算r阶累积量需要直到r阶的所有矩。2.2.3矩和累积量的性质性质1：],,[],,,[1212211nnnnxxMomaaaxaxaxaMom],,[],,,[1212211nnnnxxCumaaaxaxaxaCum其中为常数),,(1naa性质2：矩和累积量是关于它们变量的对称函数，例如],,[],,[],,[123312321xxxMomxxxMomxxxMom],,[],,[],,[123312321xxxCumxxxCumxxxCum等这意味着可以任意交换累积量的变量而累积量的值保持不变。性质3：如果随机变量可以分为互相统计独立的两组或多组，则它们的阶累积量为零，即},,,{21nxxxn0],,,[4321xxxxcum而一般情况下0],,,[4321xxxxMom例如，如果两独立组为和，则他们的联合特征函数为},,,{21xxx),,,21},,,{21nxxx),,,21n((),,,(2121n。另一方面，第二特征函数研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学为),,,(~),,,(~),,,(~21221121nn，将),,,(~21n和),,,(21ni分别代入(2.3)和(2.1)式，并对求偏导，即可证得。性质4：如果随机变量集和独立，则累积量具有“半不变性”，即},,,{21nxxx},,,{21nyyy],,,[],,,[212211nnnxxxCumyxyxyxCum],,,21nyyy[Cum],,[))({(],,[1221111nnnMomxxMomyxyxEyxyxMom累积量由此而得名，同时，累积量也称为“半不变量”（semi-invariant）。而一般情况下，高阶矩不具有“半不变性”，即,[(1nyx],)}nnyy},,,,{211nxxxy],,,[],,,[21211nnCumxxxCumxxyxCum结论：如果一非高斯信号是在与之独立的加性高斯噪声中被观测的话，那么观测过程的高阶累积量将与非高斯过程的高阶累积量相等。然而，对于随机变量，有,[1xy],,2nx和,[1y],,,[],,,[21211nnMomxxxMomxxyxMom],,2nxx性质5：如果随机变量集是联合高斯的，则关于他们分布的所有信息包含在阶矩中。因此，所有阶的矩不会提供新信息。这导致以下事实，对于高斯随机矢量，所有阶的联合累积量均为零。因此，在某种意义上，阶数大于2的累积量可度量一个时间序列的非高斯性或非正态性。},,,{21nxxx2n2n2n性质6：累积量对加性常数是盲的，即如果为常数，则,,,[],,,[2121nzzCumzzzCum]nz在实际中，我们使用高阶累积量作为时间序列分析的数学工具，而不采用高阶矩主要是由于以下几方面的原因：1)对于高斯信号，其高于二阶的累积量谱均为零，这样非零累积量谱就提供了对非高斯性的度量；2)累积量可以度量时间序列中的统计独立程度；3)如同白噪声的协方差函数是冲击函数，其功率谱是平坦的一样，高阶白噪声的高阶累积量是多维冲击函数，其高阶累积量谱也是多维平坦的；4)两个（或多个）统计独立的随机信号和的累积量等于它们各自累积量的和，而这对高阶矩谱不成立。正是这一性质使得累积量非常适合用作为一种算子；授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日9研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日105)各态历经假设在估计累积量中比估计矩中更易于满足。例2.3考虑随机变量，iiixyz3,2,1i,,{321yyy。其中的联合pdf是非高斯的，而是联合高斯的，且与独立。同时，假设