现代信号处理第三章-确知信号的矩谱

研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日49第三章确定性信号的矩谱分析3.1引言信号处理应用中有许多情况下信号在每一时刻的值是知道的，如有限时间信号，这类信号称为确定性信号。相反，随机信号的取值在每个时刻是不确知的。第二章中已经讨论了随机信号的矩、累积量和累积量谱的定义和性质。本章介绍确定性信号的高阶矩和高阶矩谱的定义和性质，讨论能量和功率确定性信号的矩和矩谱。由于累积量对分析确定性信号没有明显的益处，所以讨论中仅考虑矩。3.1.1能量与功率确定性信号设，)(kx,2,1,0k为一实确定性信号,其瞬时功率为)(kx2，总能量为=xEkkx)(2(3.1)同样,的平均功率为)(kx=xPMlim121MMMkkx)(2(3.2)或=xP)(kx2其中·表示时间平均运算。能量有限信号：，=0，例如，有限时间信号，等。0xExPke功率有限信号：=xE，0，例如，周期信号，准周期信号（阶跃信号），随机信号等。xP3.1.2能量信号的Fourier分析（3.3）kkjekxX)()(deXkxkj)(21)(（3.4）一般)()()(IRjXXX（3.5）或)(exp)()(xjXX（3.6）如果为实，则有共轭对称性，有)(kx)()(*XX)()(RRXX(偶)研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日50)()(IIXX(奇)或)()(XX(偶)xx(奇)如果（实或复）为偶，即kx()()xkxk，则有，即其Fourier变换为实函数。)()(*XXParseval定理：dXkxEkx22)(21)((3.11)3.1.3周期功率信号的Fourier分析设有周期序列，周期为，即)(~kxN()()xkxkN周期序列的Fourier级数表示为10)2()(~1)(~NkNjeXNkx，1,,1,0Nk（3.12）10)2()(~1)(~NkNjekxNX，1,,1,0N（3.13）显然，)(~X一般是复数且周期为,即N)(~)(~NXX。周期序列的平均功率为)(~kx122~~1)(~121limNJJkMMkMxkxNkxMP或Nkxx2)(~~其中是求和起点，是周期序列时间平均运算。所以有JNNkNjeXkx)2()(~)(~)(exp)(~)(~~xjXX，1,,1,0N因此有)(~)(~XX（偶）()()xx（奇）研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日51周期序列的Parseval定理为102102)(~1)(~NNkXNkxNNxXNkxP22~)(~1)(~3.2能量信号的矩3.2.1定义设，k=kx0,1,2为一实能量有限信号，且假设其矩存在，则n阶矩为一1n维函数，定义为，111(,,)()()()xnnkmxkxkx1nk,2,1,0i这些矩是对信号与其延迟或超前信号乘积之间的相似程度的数字度量。kxx例如，是1(0,,0)()()xnnkmxkk)(kx和)(1kxn的“内积”或互能量。3.2.2性质P1如果1()()xkaxk,且a为常数，则有11111(,,)(,,)xxnnnnmamnP2如果12()()()xkxkxk，则一般有1211111(,,)(,,)(,,)xxxnnnnnmmm1nP3矩是其自变量的对称函数，例如121211121(,,,)(,,,)(,,,)xxxnnnnnnmmm等。P4如果为偶，即)(kx()()xkxk，则其n阶矩满足对称条件，即为“时间可反转”。121121(,,,)(,,,)xxnnnmmn2n3.2.3特例1阶矩：(均值)kxkxm)(12阶矩：（自相关序列）kxkxkxm)()()(112研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日522121()()xxmm可看成为和kxkx的线性卷积3阶矩：31212(,)()()()xkmxkxkxk（三重相关）3.3能量信号的矩谱设，)(kxk=0,1,2为一实能量信号，具有n阶矩),,(11nxnm3.3.1定义：)(kx的n阶矩谱定义为112211121121exp,,,,,,11nnnxnnxnjmMn其中121,1,,1,inin能量信号的矩谱是频率i的连续函数，时,为周期函数，周期为2n2。通常121121121,,,exp,,,,,,nxnnxnnxnjMM3.3.2另一种定义)()()()()()()()()(,,,121*121121)(11121121111111nnnkkjjnkjnxnXXXXXXXekxekxekxkxMnnnn)()()()(,,,121*121121nnnxnXXXXM和)()()()()(1112111nxnxxxnxn存在递推关系：，等等),,()0()0,,,(21121nxnnxnMXM3.3.3矩谱的特殊情况能量谱：n=22*2XXXMx研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日530)(2x能量谱为实，非负偶函数，抑制了相位信息。从能量谱仅能唯一地恢复最小相位和最大相位信号。双谱：n=321*21213,XXXMx3阶矩谱通常是复函数，满足第二章双谱的对称特性。3阶矩谱与能量谱之间显著的差别是3阶矩谱保留了相位信息。三谱：n=4)2x()()()(),,(3213213214XXXXMx对于非零均值能量信号，用三谱而不用双谱没有明显的优点，因为两者均保留了相位信息。然而，对于具有对称概率密度函数的平稳随机过程，仅能在三谱域恢复相位和幅度。特例：33(,0)(0,)(0)()xxMMXM)()0(),0,0()0,0,(2244xxxMXMM3.3.4能量信号的标量度量2221(0)()()2xxkmxkMd“方差”33321(0,0)()(,)(2)xxkmxkMd1212d“偏态”444310,0,0,,2xxkmxkMdd123123d“峰态”3.3.5矩谱和LTI系统的关系设为稳定的LTI系统的冲击响应，其频率传递函数为)(kh()H()()expkHhkjk设为输入，为输出，即)(kx)(ky研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日54时域nnkxnhky频域)()()(XHY代入有11121(,,)()()()ynnMYYY1n1n111111(,,)(,,)(,,)yhxnnnnnnMMM其中，11111(,,)()()()hnnnMHHH1系统输入和输出信号的n阶矩之间的关系为1111111111111(,,)(,,)(,,)(,,)(,,)nyhxnnnnnnhxnnnnniimmmmiimii其中，“*”表示n-1维线性卷积运算。3.3.6相位条件设()hk是一确定性瞬态信号，其Z变换为。一般，为一有理函数，即()Hz()Hz()/HzBzAz（3.80）其中，0qiiiBzbz，0piiiAzaz，并假设没有零极点对消。如果()hk的的所有奇异点（极点和零点）在单位圆内，则成为最小相位信号，相应地要求()Hz()hk为因果稳定得序列。然而，并不是所有的因果信号都是最小相位的。另一方面，如果)z的所有奇异点均位于单位圆外，则信号(H(hk)称为最大相位的。最后，如果有些奇异点在单位圆外，其余的在单位圆内，则称信号是混合相位或非最小相位的。如果Bz和（Azexpzj）具有相同的相位相应，但幅度不同，则是零相位信号。由定义可知，一个零相位信号必须具有实的傅立叶变换，即。所以，的奇异点以共轭倒数对出现，以便如果在()hk*(hk())hk()Hz()Hz0zr处有一零点（极点），那么，在处必须也有一零点（极点）。例如，由（3.34）式可知，自相关()Hz*01/zr研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年4月1日55序列总是零相位信号。3.3.7互矩谱（见教材）3.3.8能量信号的n阶相干函数能量信号的n阶相干函数定义为)(kx21112122212121121,,,,,,nxnxxxnxnnxnMMMMME进一步有121121,,,exp,,,nxnnxnjE也即21121*121121,,,,,,,,,nxnnxnnxnMME可见，能量信号的n阶相干函数具有与线性非高斯过程相同的性质。3.4功率信号的矩能量信号的矩谱的一个重要性质是频域连续函数。3.4.1定义考虑一实功率信号()k=0,1,2xk，设其高阶矩存在，则功率信号的n阶矩定义为11121,,,nnxnkxkxkxr其中表示时间平均运算。对于周期信号Nkxkx~~有