现代信号处理第六章

研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年5月1日81第六章利用高阶谱恢复信号的非参数方法6.1引言利用高阶谱恢复信号的非参数方法是指利用双谱或三谱恢复信号的Fourier幅度和相位的方法，这些方法无需用参数模型（如AR、MA、ARMA等）适配数据来求解问题。非参数方法需要信号双谱和三谱的先验信息。本章研究几种不同的信号恢复的非参数算法，包括：（1）相位恢复算法：递推和非递推；（2）基于多倒谱的相位和幅度恢复算法；（3）仅用双谱相位的信号恢复方法；（4）双通道盲解卷积中的信号恢复。6.2利用高阶谱估计信号的幅度和相位对于一个线性非高斯信号，已知其高阶谱即可恢复它的Fourier幅度（在一个尺度因子内）和相位（差一个线性相移）。本节讨论假设已知双谱幅度和相位时，恢复信号Fourier幅度和相位的算法。这些算法可以直接推广到如三谱等高阶谱的情况。设信号()Xk的FT为()X，则其双谱相位312,x和Fourier相位x间有以下关系3121212,xxxx(6.1)且幅度之间关系为3121212,xCXXX(6.2)问题是如何从312,xC和312,x恢复X和x。对(6.2)式取对数有3121212ln,lnlnln,xCXXX(6.3)比较(6.2)式和(6.3)式，可知两种问题可以用同样的算法，只要0X。6.3相位恢复算法双谱昀吸引人的特点是它保留了信号的Fourier相位信息，本节讨论几种相位恢复算法，并说明它们的优点和不足。大部分算法基于(6.1)式。实际上，双谱相位仅可用下式计算研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年5月1日82312312312Im,ˆ,arctanRe,xxxCC(6.4)其中Im，分别表示双谱Re[]312,xC的虚部和实部。即使忽略双谱的估计误差，计算的相位312ˆ,x也与真实相位312,x差122,k，其中12,k仅取整数值。这一相位差对双谱无关紧要，因为它不影响双谱值。然而依据相位恢复算法，这将导致有误差的Fourier相位ˆx。对于将要讨论的算法，从计算双谱相位导出的Fourier相位ˆx与真实相位仅差一线性相位项，即ˆxx2k，其中k是一整数函数。线性相位差一般不重要，因为它仅对应一个信号的时移。如果情况不是这样，那么在应用相位恢复算法前，需要估计双谱相位的二维解相位模糊算法。6.3.1Brillinger算法（1977）Brillinger提出的相位恢复算法是一种利用全部双谱值的递推方案。假设1取离散值0,1,…,k，2取k，k-1,…,0，则利用(6.1)式可生成(k+1)个方程，将这些方程求和，得13000,2121kkkxxxxiiiikiikkikkx(6.5)可求得为xk113000211,2111kkkxxxxiiikiikiikkksk，k=2,3,…N(6.6)其中30,kxiskiki注意到，k=N对应于。为了实现(6.6)式中的递推，需要初始值和0x1x。为了确定这两个值，首先假设00,xxN0。实际上，xNk，k。因此，假设将意味着信号将被时移。0,1,2,...0xN利用关于的这一假设，xN1可按如下方法计算研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年5月1日832111NxxisisiNiiN(6.7)0ikπk-ikπω1ω2图6.1在Brillinger算法中的双谱相位线从(6.6)式可见，Fourier相位x是沿图6.1所示的对角双谱相位线求和计算的。容易证明，如果利用模2相位231ˆ,x代替真实双谱相位，则(6.6)式和(6.7)式将产生有误差的Fourier相位ˆx，即2xxkˆ。Brillinger算法是递推的，因此对误差敏感，特别在初始相位值的估计中。1x6.3.2Lii-Rosenblatt算法（1982）Lii-Rosenblatt算法也是递推的，但它仅利用了一条双谱线上的值。将对应于10,1,,1k和21的双谱相位值求和，得130,110,2,3,,kxxxxikikkN(6.8)再设，为任意值，它建立了时间信号的位置。用这些初始条件，即使用模00x1x2双谱相位代替真实双谱相位3ˆ,1xi3,1xi，(6.8)式仍能给出正确的Fourier相位估计。ˆxk设，由(6.8)式可得1x0110ˆ2,kxxikkni(6.9)其中n是一整数函数。换句话说，ˆxk和xk相差2的整数倍。研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年5月1日84该算法实质上仅限于利用沿直线3,1xi，0,1,,iN上的双谱值。因此，没有考虑现有的全部双谱信息，这在带限信号的情况中会产生严重的问题。例如，考虑一带限信号，其低频和高频截止频率分别为L和H。如果1L，则Lii-Rosenblatt算法将失效，因为所用的双谱值全为零。0ωLωHππω1ω2ωLωH1图6.2计算带限信号相位所能用的双谱值6.3.3Bartelt-Lohman-Wirnitzer算法（1984）Bartelt-Lohman-Wirnitzer算法基本上是Lii-Rosenblatt算法的推广。由(6.1)式可得3,xxxxijijijj(6.10)因此，对于，有1j311xxxxiii1,1(6.11)用初始条件，为任意值。根据(6.11)式，可恢复相位如下00x1x32111,xxxx1(6.12.1)33122,xxxx1（6.12.2)……..311xxxxNNN1,1(6.12.3)其中，将代入(6.12.1)式可得1x2x。同样，将2xN代入(6.12.2)式可得，重复以上过程直到求出所有相位值。将3x2,3,,j分别代入(6.10)式，有类似的相位关系。因此，每个相位有xp12p个独立的表示（对于p为奇数），或2p个表示（对于p为偶数）。为了改善表示的信噪比（SNR），可以对这些表示取平均。注意，应对指数因子研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年5月1日85expxjp取平均，而不是直接对相位求和，因为对xp的每一个表示求和受模2π的限制。因此，3exp.exp,xxxxqjpconstjppqpqq(6.13)B-L-W算法虽然也是递推型的，但不要求解相位模糊方法，且利用了全部双谱值。6.3.4Matsuoka-Ulrych算法（1984）以上讨论的算法都是递推型的。Matsuoka和Ulrych在1984年提出了一种非递推方法。如下：将11,2,...,2N和211,1,...,N1代入(6.1)式，有下面方程组31,1212xxx31,2123xxxx31,3235xxxx………31,111xxxxNNN32,2224xxx(6.14)………3,2222xxxNNNN，如果N是偶数。取，将(6.14)式写为矩阵形式0xN3xxAΦ=Ψ(6.15)其中，1,2,...,TxxxxNΦ3333331,1,1,2,...,1,1,2,2,...,,22TxxxxxxNNNΨ和研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年5月1日8621000...011100...0...........................10000...102010...001101...0...................................0A,其中，矩阵的维数：若N为偶数，为212NN；若N为奇数，为1114NNN。可以证明，A是满秩矩阵。从(6.15)式可得昀小二乘解3xx-1TTΦ=AAAΨ(6.16)该算法利用了所有的双谱值，且是非递推的。因此，它不受累积误差的影响。但是，当使用模2π双谱相位代替真实双谱相位时，(6.16)式不能得到正确的。xi下面给出两种双谱相位解模糊的方法。方法Ⅰ[Marron等1990年]设312ˆ,x表示模2π双谱相位，即有31231212ˆ,,2xxk,(6.17)其中，312ˆ,x位于区域[0,2π]，12,k是一整数函数。解相位问题即为估计整数1,k2的问题。矩阵方程(6.15)式可写成32xxAΦΨΚ(6.18)其中，1,1,1,2,...,1,1,2,2,2,3,...2,2,,22TNNkkkNkkkNkK，A同(6.15)式定义。设C为一个矩阵，满足研究生课程：现代信号处理－高阶统计量分析课程编号：0211007（博）0221023（硕）西安电子科技大学授课教师：姬红兵教授[e-mail]更新日期2010年5月1日87CA0(6.19)由(6.18)式和(6.19)式，可得3ˆx1CKCΨ2π(6.20)因此，如果给定模2π相位矢量3ˆxΨ，就可以解(6.20)式中的K，进而解出双谱相位。在他们的论文中，证明了当给定的C具有昀大可能秩224N时，所有满足(6.20)式的矢量K将产生一个等效Fourier相位矢量，它对应的时间信号是真实信号的时移。为了简化从(6.20)式确定K，昀好选C为三角阵。(6.19)式意味着矩阵C的每行元素是使双谱相位线性组合为零的系数，即3333,1,11,1,1xxxxi