概率论独立性

概率论第六节独立性主要内容：1）两个事件的独立性2）多个事件的独立性3）独立性的概念在计算概率中的应用重点：1）两个、多个事件独立性的定义2）利用独立性的概念接概率题目概率论显然P(A|B)=P(A)这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.一、两事件的独立性A={第二次掷出6点}，B={第一次掷出6点}，先看一个例子：将一颗均匀骰子连掷两次，设概率论由乘法公式知，当事件A、B独立时，有P(AB)=P(A)P(B)用P(AB)=P(A)P(B)刻划独立性,比用P(A|B)=P(A)或P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约.PABPABPB概率论若两事件A、B满足P(AB)=P(A)P(B)(1)则称A、B相互独立，简称A、B独立.两事件独立的定义independence1定理独立的充要条件为、事件BA0,|0,|APBPABPBPAPBAP或概率论证.先证必要性,由独立定义知独立、设事件BABPAPABP|,0,BPABPBAPBP时当所以BPBPAPAP|,0,APABPABPAP时当或者APBPAPBP:再证充分性,|则有成立设APBAPBPBAPABP|BPAP.,相互独立、事件由定义可知BA概率论例从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可见,P(AB)=P(A)P(B)由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B独立.问事件A、B是否独立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,概率论前面我们是根据两事件独立的定义作出结论的，也可以通过计算条件概率去做:从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.可见P(A)=P(A|B),即事件A、B独立.则P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13概率论在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立.甲、乙两人向同一目标射击,记A={甲命中},B={乙命中}，A与B是否独立？例如（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）概率论一批产品共n件，从中抽取2件，设Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,则A1与A2独立.因为第二次抽取的结果受到第一次抽取的影响.又如：因为第二次抽取的结果不受第一次抽取的影响.若抽取是无放回的，则A1与A2不独立.概率论例一批产品共有10件，其中8件正品，2件次品，设1）有放回抽样1288(),(),1010PAPA而121288()()().1010PAAPAPA所以在又放回抽样下，第i次和第j次抽到正品是独立的。={第i次取到正品}，则iA2）无放回抽样18(),10PA212121212()()()()PAPAAAAPAAPAA概率论211211(|)()(|)()PAAPAPAAPA87284.1091095而128728().10945PAA因为1212()()()PAAPAPA所以在有放回抽样下，第i次取到正品和第j次取到正品不是独立的.概率论请问：如图的两个事件是独立的吗？AB即若A、B互斥，且P(A)0,P(B)0,则A与B不独立.反之，若A与B独立，且P(A)0,P(B)0,则A、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不独立我们来计算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即概率论设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：前面我们看到独立与互斥的区别和联系，1.P(B|A)02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0,下面四个结论中，正确的是：1.P(B|A)02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再请你做个小练习.概率论=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)BP(A)=P(A-AB)A、B独立概率的性质=P(A)-P(A)P(B)仅证A与独立B定理2若两事件A、B独立,则BABABA与与与,,也相互独立.证明B=P(A)P()故A与独立B概率论概念辨析事件Ａ与事件Ｂ独立事件Ａ与事件Ｂ互不相容()()()PABPAPBAB()0PAB事件Ａ与事件Ｂ为对立事件ABAB()()1PAPB概率论定义,如果满足等式为三事件、、设CBACPBPBCPCPAPACPBPAPABP.为两两独立的事件、、则称三事件CBA,等式两两独立时　、、当事件CBACPBPAPABCP.不一定成立二、多个事件的独立性概率论例设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每一个四面体标有号码1，2，3，4。令A={第一个四面体的触地面为偶数}B={第二个四面体的触地面为奇数}C={两个四面体的触地面同时为奇数，或者同时为偶数}试讨论A、B、C的相互独立性。概率论A={第一个…为偶数}；B={第二个…为奇数}C={两个…同时为奇数，或者同时为偶数}(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)1()()()2PAPBPC1()()()4PABPACPBC()0PABC解试验的样本空间为所以，A、B、C两两独立，但总起来讲不独立。概率论对于三个事件A、B、C，若P(AB)=P(A)P(B)P(AC)=P(A)P(C)P(BC)=P(B)P(C)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.:有限多个事件的情形此定义可以推广到任意概率论定义,,,,21如果对于任意个事件为设nAAAn1,121有等式和任意的的niiinkkkkkiiiiiiAPAPAPAAAP2121.,,,21为相互独立的事件则称nAAA请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系两两独立相互独立对n(n2)个事件?概率论,2都每一门击中飞机的概率设有两门高射炮例:,0.6求下列事件的概率是?1中飞机的概率是多少同时发射一发炮弹而击99%,2以上的概率欲以若有一架敌机入侵领空?,炮问至少需要多少门高射击中它解,而击中飞机门高射炮发射一发炮弹第设kAk,6.0,,2,1于是且之间相互独立则kkAPAk211AAP211AAP211AAP三、独立性的概念在计算概率中的应用概率论211APAP24.01.0.84,2由题知门高射炮设至少需要n21nAAAP121nAAAP121nAAAPnAPAPAP211n4.010.99,01.00.4n,解之得.026.54.0ln01.0lnn即概率论?.4100.0.01;0.95.,3,)3(3:.1003概率是多少试问这批乐器被接收的音色不纯的件是件乐器中恰有如果已知这的概率为测试被误认为不纯而一件音色纯的乐器经为出其为音色不纯的概率试查件音色不纯的乐器经测设一收则这批乐器就被拒绝接被认为音色不纯中件中至少有一件在测试如果是相互独立的件乐器的测试设件测试该批乐器中随机地取自验收方案如下乐器件要验收一批例概率论解,,3件音色不纯恰有件随机地取出设iHi.3210,,,i.这批乐器被接收A则AP11HPH|APHPH|AP003322HPH|APHPH|AP其中0HP,3100396CC1HP,142310096CCC2HP,241310096CCC3HP,343100CC概率论0H|AP,0.9931H|AP,0.050.9922H|AP,0.050.9923H|AP.0.053:概率为所以这批乐器被接收的AP11HPH|APHPH|AP003322HPH|APHPH|AP30.993100396CC0.050.992142310096CCC22410.050.99310096CCC0.053343100CC.0.8629概率论例4三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？解将三人编号为1，2，3，所求为记Ai={第i个人破译出密码}i=1,2,3123PAAA已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/41231231PAAAPAAA概率论12)(1321AAAP)()()(1321APAPAP=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]6.053433254131231231PAAAPAAA概率论例5下面是一个串并联电路示意图.A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件.它们下方的数是它们各自正常工作的概率.求电路正常工作的概率.ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0概率论解将电路正常工作记为W，由于各元件独立工作，有其中P(W)0.782代入得ABCEDFGH95.095.095.070.070.070.075.075.0PWPAPBPCDEPFGPH1PCDEPCPDPE0.9731PFGPFPG0.9735概率论将试验E重复进行n次,若各次试验的结果互不影响,则称这n次试验是相互独立的.设随机试验E只有两种可能的结果:A及,且P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试验,则称这一串试验为n重贝努利试验.贝努利试验Bernoullitrials相互独立的试验贝努利试验A概率论例一批产品的次品率为5%，从中每次任取一个，检验后放回，再取一个，连取4次．求4次中恰有2次取到次品的概率．设Ｂ＝｛恰好有2次取到次品｝,Ａ＝｛取到次品｝，则＝｛取到正品｝．A()5%pPA()1()195%qPAPAp1234()()()()5%PAPAPAPA1234()()()()95%PAPAPAPA分析n=4的Bernoulli试验Ａi={第i次抽样抽到次品}概率论因为Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4相互独立，所以12341234()()()()()PAAAAPAPAPAPA2422295.005.0qp123412341234()()PBPAAAAAAAAAAAA22424Cpq2295.005.060135.0123412341234,,,AAAAAAAAAAAA123412341234,,AAAAAAAAAAAA四次抽样中Ａ恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有624C概率论贝努利定理设在一次试验中事件Ａ发生的概率为p(0p1)，则Ａ在n次贝努里试验中恰好发生k次的概率为knkknnqpCkP)((k＝0，1，2，...，n)其中pq1定理概率论例有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,(1)求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)；(2)求至少有两粒出苗的概率．(1)该试验为4重