§1.7事件的独立性与伯努利概型

1§1.7事件的独立性与伯努利概型2一、事件的独立性粗略地说，两个事件相互独立是指其中一个事件的发生不影响另一个事件的发生．例如，A表示“晚上7点整甲B表示“晚上7点整乙家人看电视”．显然，A的发生不影响B的发家人看电视”，生，反之亦然．3上述意思翻译成概率语言即为下面给出关于两个事件的相互独立性定义：()PBAPB().PABPA且但只要其中的条件概率有意义，上面两个式()().PABPAPB子相互等价(参见习题1.44)．同时，也等价于对于任意两个事件Ａ和Ｂ，若()(),PABPAPB则称Ａ与Ｂ相互独立.4例1.27将一枚匀称硬币抛掷三次，观察正A与B相互独立．反面朝上的试验的样本空间为,,,,,,.HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTT设A=“前两次出现正面”={HHH，HHT}；Ｂ=“第三次出现反面”={HHT，HTT，THT，TTT}；C=“前两次出现反面”={TTH，TTT}．◎AB={HHT}111824PABPAPB5关于独立性的几个注记A与Ｃ不相互独立．11022PACPAPC◎ACÆ1º两个事件相互独立的本质意思是：其中一个事件发生与否不影响另一个事件的发生．A与B相互独立()()PABPAPB()PBPBA()PBPBA()PAPAB().PAPAB☎6☎2º()0PAＡ与任何事件Ｂ都相互独立；()1PAＡ与任何事件Ｂ都相互独立.证关于第一个蕴涵式．()0PA及概率的由从而()().PABPAPB和Æ都与任何事件相互独立．()0,PAB单调性知7关于第二个蕴涵式．从而()()()()(),PABPAPBPABPB于是()().PABPAPB由()1PA及概率的单()1,PAB调性知3º相互独立与互不相容没有必然联系．☎8概率有关，后者的定义没有借助概率．◎从实际结果来看，两个事件相互独立，这两个事件未必互不相容，在例1.27中，Ａ与Ｂ相互独立，但Ａ与Ｂ相容；同样地，两个事件互不相容，这两个事件也未必相互独立，还是在例1.27中，Ａ与Ｃ互不相容，但Ａ与Ｃ不相互独立．◎从定义来看，A与B独立()(),PABPAPB而A与B互不相容,ABÆ前者的定义与94º在A与B，A与B，A与B，A与B这四对事件中，若其中有一对事件相互独立，则其它三对事件也分别相互独立．证假设A与B相互独立，则()()PABPAPB，从而()()PABPAPAB()()PAPAPBPAPB，这证明了A与B相互独立.同理可证，A与B，A与B也分别相互独立．☎10设事件A与B互不相容，且P(A)0，P(B)0，则前面给出了几个注记，现在巩固一下．（A）P(B|A)0．（B）P(A|B)=P(A)．设事件A与B相互独立，且P(A)0，P(B)0，则（A）P(B|A)0．（B）P(A|B)=P(A)．（C）P(A|B)=0．（D）P(AB)=P(A)P(B)．（C）P(A|B)=0．（D）P(AB)=P(A)P(B)．11例1.28甲、乙两射手彼此独立地向同一目标各射击一次，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率为0.7，问目标被击中的概率是多少?解设A=“甲射中目标”，B=“乙射中目标”，注意“目标被击中”=AB，问题归结于求PAB，即求两个相互独立事件并的概率．为了充分利用独立性，一个重要技巧是利用对偶原则把“并”转化成“交”.11PABPABPAB110.20.30.94.PAPB12判断事件的独立性常有三种途径：◎由实际问题本身决定．如在例1.28中，Ａ与Ｂ◎根据事件独立性的定义及概率计算得知．如在独立性的获知．◎在已知独立事件的基础经过一些推理得知相例1.27中，Ａ与Ｂ的独立性的获知．关事件的独立性．如在上述注记4º的证明中，由A与B的独立性推知A与B的独立性．13关于三个事件的相互独立性定义对于任意三个事件A，B，C，若下述四个等式同时成立，则称A，B，C相互独立．由定义可知，三个事件相互独立必保证两两独()(),PABPAPB()(),PACPAPC()()(),PABCPAPBPC()(),PBCPBPC立．但两两独立不一定保证相互独立．14关于任意有限多个事件的相互独立性的定义对于任意n2n个事件12,,,nAAA，若下列等式(),1,ijijPAAPAPAijn,ijkijkPAAAPAPAPA,ijklijklPAAAAPAPAPAPA1,ijkn1,ijkln1212nnPAAAPAPAPA15◎当3个及以上的事件相互独立时，它们乘积的概率等于各自概率的乘积，但反过来不成立．◎n个事件相互独立，需要12,,,nAAA同时成立，则称相互独立．2321;nnnnnCCCn个等式来保证．16例1.29将一枚匀称硬币抛掷两次，观察正反面朝上的试验的样本空间为设A=“第一次出现正面”={HH，HT}，B=“第二次出现正面”={HH，TH}，C=“正、反面各出现一次”={HT，TH}．经过一些简单计算得17故A，B，C两两相互独立但不相互独立．1,4PABPAPB1,4PACPAPC1,4PBCPBPC0.PABCPPAPBPCÆ18二、伯努利概型伯努利概率模型，简称伯努利概型始于雅格布·伯努利的研究．雅格布·伯努利(1654－1705)率为p的伯努利试验．如果一个试验只有两个可能结果：,A和A且()01,PApp则称这个试验为成功概成功失败19试验序列为n重伯努利试验．结果都不依赖于其它各次试验的结果，则称这n次将一个伯努利试验重复进行n次，若每次试验1,nkkknnPkCpp0,1,,.kn伯努利公式容易求得，在一个每次成功的概率为p的n重伯努利试验中，恰好成功k次的概率为20由二项式展开定理得，00()1nnnkkknnkkPkCppn次的概率总和为1．11,npp它表示n重伯努利试验中成功0次，1次，…，21解在任一时刻，考察一名售货员是否使为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的用台秤相当于作一次试验，如果使用台秤则视概率为15/60=1／4．例1.30店内有4名售货员，根据经验每名售货员平均在一小时内只用秤15分钟，若店内只有1个台秤，求任一时刻台秤不够用的概率．现同时考察4名售货员使用台秤的情况，因此这是每次成功概率为1／4的4重伯努利试验．22所谓“台秤不够用”是指同时至少有2名售货员要使用台秤，即至少成功两次．由伯努44442()101kPkPP43143131444C利公式，得670.2617.25623例1.31某机构有一个5人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率为0.9，现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问的意见，并按多数的意见作出决策，求作出正确决策的概率．解考察一位顾问的意见，相当于作一次试验，如果他贡献正确意见则视为成功，否则视为失败，从而每次试验成功的概率为0.9.因此，这是每次成功概率为0.9的5重伯努利试验．24这个概率几乎接近百分之百了，决策错误的可能5323553()0.90.1kPkC4545550.90.10.9CC0.9914.性是很小的．所以，“少数服从多数”和“民主集中制”原则蕴藏深刻的概率道理．的意见正确．由伯努利公式，所求概率为作出正确决策的充分必要条件是大多数顾问25例1.32在战争进入攻坚战时，需要打击敌方的一个目标．设每个人击中目标的概率都是0.6，问至少需要多少人同时射击才能以99℅以上的概率击中目标?解设至少需要n个人同时射击才能以99℅以上的概率击中目标，这里可以假设每个人射击是否击中目标相互独立．如果把击中目标视为成功，那么这是一个每次成功概率为0.6的n重伯努利试验．26问题归结为求最小的n使得所以n至少应取6，即至少需要6人同时射击才能1()0.99.nnkPk于是10.40.99n，解此不等式得ln0.015.026,ln0.4n以99℅以上的概率击中目标．27三、小概率事件如果一个事件发生的概率很小，我们就说它是小概率事件．在实际生活中，我们常常忽略小概率事件发生的可能性，并认为小概率事件在一次试验中不会发生，通常称为小概率原理．◎虽然人坐飞机出现事故的概率不等于零，但我们还是很坦然地坐飞机；反过来，一旦小概率事件发生了，人们会不由自主地诧异甚至震惊.28例1.33一位音乐专家声称，他可以由海顿或莫扎特的一页乐谱看出作者是海顿还是莫扎特．做了10次试验，他每次都正确．问该音乐专家的声称是否可信？解假设该音乐专家的声称不可信，即纯粹是靠运气猜对的，那么每次成功(猜对)的概率为1/2．于是，10重伯努利试验中全部成功的概率为29发生的可能性不到千分之一的事件居然在一次试10101100.00098.2P验中发生了，由小概率事件原理，人们有理由怀疑“该音乐专家的声称不可信”这一假设的正确性，而断言音乐专家的声称是可信的．虽然人们经常自觉不自觉地使用小概率原理，但当大量地重复小概率事件时，这个小概率事件迟早会发生．也就是说，概率中蕴涵着辩证法．30为了明白这种辩证法，在n重伯努利试验中，至少成功一次的概率为1()1(0)11.nnnnkPkPp功的概率p多么小（只要不为零），只要将这个试验一直当n时，1()1nnkPk．这表明不管每次试验成做下去，那么终究一天是会成功的．31我们常说“只要功夫深，铁杵磨成针”，又说“宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”，还说“法网恢恢，疏而不漏”，这些富含哲理的话都蕴涵着深刻的概率道理．