48、复数中的方程问题

三、复数中的方程问题【教学目标】1．掌握判别式小于零的实系数一元二次方程的复数根的求法．2．掌握一元二次方程根与系数的关系并能用于解决一些方程根的问题．3．在解决问题的过程中体会转化与分类讨论的数学思想的应用．【教学重点】一元二次方程的根的讨论．【教学难点】含字母系数的方程根的情况的讨论，13x的根的应用．【教学过程】一．知识整理1．实系数一元二次方程的根的情况设方程02cbxax（a，b，Rc且0a），判别式△acb42．（1）当△0时，方程有两个不相等的实数根：aacbbx2421，aacbbx2422．（2）当△0时，方程有两个相等的实数根：abxx221．（3）当△0时，方程有两个共轭虚根：aibacbx2421，aibacbx2422．2．代数式22ba（a，Rb）的因式分解利用zzz2||，有))((22biabiaba3．复系数一元二次方程根与系数的关系设方程02cbxax（a，b，Cc且0a）的两个根为1x，2x，则acxxabxx2121．4．方程13x的根方程13x有三个根，11x，ix23212，ix23213．若记i2321，则有性质：13（13n，Zn），2，012．二．例题解析【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式．（1）44ba；（2）3212xx．【解答】解：（1）))()()(())((222244biabiabababababa．（2）3212xx])5()1[(21)62(21222xxx)51)(51(21ixix．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】（1）若i23是实系数方程022cbxx的根，求实数b与c；（2）若i23是方程0422icbxx的根，求实数b与c．【解答】解；（1）由题意，i23是方程的另一根，则2)23)(23(2)23()23(ciibii，所以12b，26c．（2）将i23代入方程得04)23()23(22icibi，整理得，0)220()310(ibcb，所以02200310bcb，解得2010cb．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】（1）已知012xx，求504030xxx的值．（2）若012aa，求17171aa的值．【解答】解：（1）由012xx，得ix2321，所以13x，所以504030xxx012xx．（2）由012aa，得ia2321，当ia2321时，则a（i2321），13a，2171717)(a，21711a，所以1)(121717aa．同理可得，当ia2321时，也有111717aa．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，证明题，中，逻辑思维【题目】证明：在复数范围内，方程iiziziz255)1()1(||2（i为虚数单位）无解．【解答】证明：原方程化简为iziziz31)1()1(||2，设yixz（x，Ry），代入上述方程，得iyixiyx312222，所以322122yxyx，消去y，整理得051282xx，此方程的判断式△016584)12(2，故x无实数解．所以，原方程在复数范围内无解．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于x的二次方程02)12(2axax有虚根，且此根的三次方是实数，求实数a的值．【解答】解法一：设方程的虚根为nim（m，Rn且0n），由3)(nim为实数，得mn3，所以方程的虚根为)31(im，由根与系数的关系，得24)12(22amam，消去m，得21442aaa，01342aa，解得1a或41a．解法二：设方程的虚根为1z，则另一虚根为12zz，因为Rz31，所以32313131zzzz，03231zz，0))((22212121zzzzzz，因为21zz，所以0222121zzzz，即21221)(zzzz，由根与系数的关系，2)12(2aa，01342aa，解得1a或41a．三．课堂反馈【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若i23是方程022cbxx（b，Rc）的一个根，则c_________．【解答】答案：26【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】已知ai2，ib是实系数一元二次方程02qpxx的两根，则p_________，q____________．【解答】答案：4，5【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】若是方程13x的一个虚根，则)1)(1(22___________．【解答】答案：4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】在复数范围内解方程：iiizzz23)(||2（i为虚数单位）．【解答】解：原方程化简为iizzz1)(||2，设yixz（x，Ry），代入上述方程，得ixiyx1222，所以12122xyx，解得iyx2321，所以，原方程的解为iz2321或iz2321．四．课堂小结1．实系数一元二次方程，在判别式小于零时，有一对共轭虚根（虚根成对）．利用这一点，在已知一根的情况下，就可以知道另一根，再结合根与系数的关系，就使问题得到简化．2．由于实系数一元二次方程在复数范围必有两根，因此在复数范围内二次多项式的因式分解一定可以分到一次式的乘积．3．如果方程的系数含有虚数，则不能用△来判断方程有无实根，共轭虚根定理也不成立，但根与虚数的关系仍成立．这类题如果给出方程有实根的条件，可用复数相等的充要条件转化为实数方程组求解．所以说，复数问题实数化总是解决复数问题的基本策略．五．课后作业【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，填空题，易，运算【题目】在复数范围内分解因式：（1）1622xx____________________．（2）1cos22xx_________________________．【解答】答案：（1）)151)(151(ixix（2）)sincos)(sincos(ixix【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】设一元二次方程0122baxx（a，Rb）的一个虚根是i1，则实数a__________，b_________．【解答】答案：4，3【属性】高三，复数，复数开平方问题，填空题，易，运算【题目】复数i43的平方根为______________．【解答】答案：i2，i2【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程04)4(2aixix（Ra）有实根b，且biaz，求z．【解答】解：iz22．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，中，运算【题目】方程izz31||中z的解是（）A．i2321B．i2321C．i34D．i34【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，逻辑思维【题目】已知实数p满足不等式0212xx，试判断方程05222pzz有无实数根，并给出证明．【解答】解；由已知212p，所以4412p，所以方程05222pzz的判别式△0)4(4)5(4422pp，所以原方程无褛根．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，中，运算【题目】在复数范围内解方程xxx23623．【解答】解：把原方程化为523123xxx)53)(1()1)(1(2xxxxx，0)64)(1(2xxx，解得11x，ix222，ix223．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，难，分析问题解决问题【题目】已知关于x的方程02mxx（Rm）的两根为、．（1）若3||，求m的值；（2）若3||||，求m的值．【解答】解：（1）因为3||，所以9||2，所以9|4)(|2，9|41|m，解得25m或2m．（2）①当、为实数，即041m，41m时，9|)||(|29||2229||22)(29||221mm，当410m时无解；当0m时，2m．②当、为一对共轭虚数时，即41m时，，由3||||，可知23||，则49||2m．综上，2m或49m．【题目资源】【属性】高三，复数，复数集中的因式分解，解答题，易，运算【题目】1．在复数范围内分解因式（1）164x；（2）522xx；（3）83x．【解答】解：（1）)2)(2)(2)(2()4)(4(16224ixixxxxxx．（2）)21)(21(2)1(52222ixixxxx．（3）)31)(31)(2()42)(2(282333ixixxxxxxx．2．若实系数一元二次方程02baxx有一个虚根为i2，则a_______，b______．【解答】答案：0，4【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】关于复数z的方程iziz212||2的解集是________________．【解答】答案：}21,1{i【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】方程022kxx有一个根是i1，则它的另一个根是_________．【解答】答案：i1【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，易，运算【题目】a为实数，方程01822axx的一个虚根的模是5，则a__________．【解答】答案：9【属性】高三，复数，复数中的方程问题，选择题，易，运算【题目】方程0||2zz的复数解有（）A．1个B．2个C．3个D．无数个【解答】答案：C【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程03baxx（a，Rb）有一个根为1．（1）求a，b满足的关系式；（2）若此方程的另两个根为虚数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题意，01ba，即1ba．（2）由（1），1ab，故方程变为013aaxx，即0)1()1(3xax，0)1()1)(1(2xaxxx，0)1)(1(2axxx，所以方程的另两根就是方程012axx的两根，故△0，即0)1(41a，43a．所以，实数a的取值范围是,43．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，解答题，易，运算【题目】已知方程042kxx有一个虚数根为i21，求k的值．【解答】解：由042kxx，得xxk42，将ix21代入，得ik47．【属性】高三，复数，复数中的方程问题，填空题，中，运算【题目】设、是方程072mxx的两个虚根，且8||||，则实数m________．【解答】答案：16由题意，、是共轭虚数，所以