函数的间断点及其类型

1§1.10函数的间断点及其类型2:)(0条件处连续必须满足的三个在点函数xxf;)()1(0处有定义在点xxf;)(lim)2(0存在xfxx).()(lim)3(00xfxfxx).()(),()(,00或间断点的不连续点为并称点或间断处不连续在点函数则称要有一个不满足如果上述三个条件中只xfxxxf)()(lim)(000xfxfxxfxx处连续在点函数1.间断点的定义3oyx0xoyx0xoxy112oyxoyx0x间断点图形：函数在一点间断，其图形在该点断开.4可能是连续点,初等函数无定义的点是间断点.分段函数的分段点可能是间断点,也需要判定.5跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点.0处的左、右极限都存在函数在点x第一类间断点2.间断点的分类.)(),()(000都存在处间断，且在点如果xfxfxxf.)(),()(000的可去间断点为函数则称点如果xfxxfxf.)(),()(000的跳跃间断点为函数则称点如果xfxxfxf6例.0,0,1,0,)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解,0)0(f,1)0(f),0()0(ff.0断点为函数的第一类跳跃间xoxy第二类间断点.)(,)(),()(0000的第二类间断点函数为则称点在至少有一个不存处的左、右极限在点如果xfxxfxfxxf7例.1,1,11,10,1,2)(处的连续性在讨论函数xxxxxxxfoxy112xy1xy2解,1)1(f,2)1(f,2)1(f2)(lim1xfx),1(f.0断点为函数的第一类可去间x,2)1(f若令.1,1,1,10,2)(处连续在则xxxxxxf8例.0,0,,0,1)(处的连续性在讨论函数xxxxxxf解oxy,0)0(f,)0(f.0为函数的第二类间断点x.断点为无穷间9例.01sin)(处的连续性在讨论函数xxxf解xy1sin,0处没有定义在x.1sinlim0不存在且xx.0为第二类间断点x注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点..断点这种情况称为振荡间10总结两类间断点:第一类间断点:跳跃型,第二类间断点:无穷型,可去型无穷次振荡型极限与连续之间的关系:f(x)在x0点连续f(x)在x0点存在极限11o1x2x3xyxxfy判断下列间断点类型:12例.sin)(的间断点讨论函数xxxf解.)(,0sin为间断点令Zkkxx,0,0xk当,1)(lim0xfx.0为可去间断点x,0k当,)(limxfkx.为无穷间断点kx13例.0,0,,0,cos)(,处连续在函数取何值时当xxxaxxxfa解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af)0()0()0(fff要使,1时故当且仅当a.0)(处连续在函数xxf,1a14例.)(01的第几类间断点是函数问xexfx解xxxexf100lim)(lim,0xxxexf100lim)(lim,.)(01的第二类间断点是xexfx15,11)(.11的间断点求函数xxexf解函数无定义,,1,0时当xx是函数的间断点.,0x)(lim0xfx由于xxex111lim0,所以0x是函数的第二类间断点,且是无穷型.所以1x是函数的第一类间断点,且是跳跃型.并指出其类型.0011,1x由于)(limxfxxex111lim101x)(limxfxxex111lim111x1601sin00sin)(.2xxxbxaxxxxf设,,为何值时问ba;)(lim)1(0存在xfx.0)()2(处连续在xxf解因为)(lim0xfx)(lim0xfx所以)1(,)(lim0存在要xfx必需且只需)(lim0xfx),(lim0xfx即1b).(可任取a)2(,0)(处连续在要xxf必需且只需)(lim0xfx)(lim0xfx),0(f即.1ba,1,b171、函数间断点的定义.(见下图)小结第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间断点左右极限至少有一个不存在2、在点间断的类型:18可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x19思考与练习讨论函数x=2是第二类无穷间断点.间断点的类型.答案:x=1是第一类可去间断点,20解答21)(xxg)1sgn()]([2xxgf12sgn1)]([xxfg0,10,2xx在),(上处处连续)]([xgf在)0,(),0(上处处连续)]([xfg0x是它的可去间断点.0,10,00,1)(xxxxf思考题设xxfsgn)(，21)(xxg，试研究复合函数)]([xgf与)]([xfg的连续性.21作业习题1-10(63页)1.2.3.(1)22)3(lim2xxxx求xxxxxxx33lim222xxxxx33lim2xxxxx33lim2131131lim2xxxx21)3(lim2xxxx又)(23)1arcsin(lnlim231xxexx求)1arcsin(lnlimlim2131xxexxx,~)1ln(,0xxx,~arcsinxx1xu21lim03ueu.23e)2(lim03uuueu)2(arcsin]1ln[lim03uuueu)1arcsin(lnlim213xxex)00(