初中数学分类讨论思想

我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的团队资料第1页★分类讨论思想★中学数学用到的数学思想（或方法）有:（1）转化化归思想（2）方程思想（3）分类讨论思想（4）函数思想（5）整体思想（6）数形结合思想这里重点讲一下分类讨论思想.中学数学与小学数学相比,最明显的一个区别就是中学数学中某些问题的答案并不是唯一的,需要分为两种或两种以上的情况进行讨论,尤其是高中数学.这就要求学生具有一定的分类讨论能力,具备分类讨论思想.分类讨论思想,是一种很重要的数学思想方法,分类讨论题是中考和高考的必考题,具有较高的难度,需要学生对学过的定义（概念）、定理、公里、结论等有一个更加深刻的、全面的掌握.在解答分类讨论题时,思维要全面,要想到问题的每一种可能情况,避免出现漏解、讨论不完整的现象.另外,还有一点需要注意的是,并不是每种情况的解都符合题意,这就需要对这些解作出正确的取舍.讨论完之后,要对讨论的结果作出一个总结,如“综上所述,…”等.对于初中学生来说,只要对分类讨论题多加练习,勤于思考和总结,就能初步具备一定的分类讨论能力,让分类讨论思想植根于大脑.我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的团队资料第2页下面列举一些分类讨论的题目,并给出解答,希望你们认真、用心领悟这种重要的思想方法.【例1】解关于x的方程723x.分析:因为绝对值等于7的数有两个,分别是7和7,所以本题要分723x和723x两种情况.注意,绝对值为正数的数有两个,它们互为相反数.解:分为两种情况:当723x时,解得3x;当723x时,解得35x.综上所述,方程723x的解为3x或.35x【例2】解关于x的方程.12xbax解:12xbaxbxabxax1212分为以下三种情况:（1）当2,02aa即时,方程有唯一解,为21abx;（2）当1,2,01,02baba即时,方程有无数个解（0乘以任何数都得0）;（3）当1,2,01,02baba即时,方程无解.我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的团队资料第3页图（3）CAABCB【例3】已知50AOB°,30BOC°,求AOC的度数.分析:读题可知,AOB和BOC有一条公共边,但不知道BOC是在AOB的内部还是外部,所以要分为两种情况讨论.解:分为两种情况:（1）当BOC在AOB的内部时,如图（1）所示,此时:BOCAOBAOC50°－30°=20°;（2）当BOC在AOB的内部时,如图（2）所示,此时:BOCAOBAOC50°＋30°=80°.综上所述,AOC的度数为20°或80°.图（1）COBA图（2）COBA例4.已知线段AB=5cm,BC=3cm,则线段AC的长为__________.解:分为两种情况:（1）当点C在线段AB的延长线上时,如图（3）所示,此时:AC=AB+BC=5+3=8cm;（2）当点C在线段AB上时,如图（3）所示,此时:AC=AB－BC=5－3=2cm.综上所述,线段AC的长为8cm或2cm.我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的团队资料第4页注:例3和例4是关于相对位置展开的讨论.关于等腰三角形的讨论例5.若等腰三角形中有一个角为50°,则这个等腰三角形的顶角的度数为【】（A）50°（B）80°（C）50°或65°（D）50°或80°分析:等腰三角形有一个顶角、两个底角,并且两个底角相等.题目所给的50°角由于不知道是顶角还是底角,所以要分为两种情况进行讨论.解:分为两种情况:（1）当50°角为顶角时,它的两个底角为65250180;（2）当50°角为底角时,顶角为100502180.综上所述,该等腰三角形的顶角为50°或80°,选择（D）.参看下面的图（4）.图（4）50°50°50°角为底角时50°角为顶角时拓展:若把题目中的50°角改为100°角,则本题的答案是什么?还需要讨论吗?例6.若等腰三角形的两条边长分别为3cm、6cm,则它的周长为【】（A）9cm（B）12cm（C）15cm（D）12cm或15cm我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的团队资料第5页分析:两条边长分别为3cm、6cm,其中必有一条边长为腰长,另一条边长为底边长,究竟哪一条边长是腰长,要分为两种情况讨论.注意,并不是每一种情况都符合题意,最后还要根据三角形三条边之间的关系作出取舍.解:分为两种情况:（1）当3cm为腰长,6cm为底边长时,由于3+3=6而不大于6,所以这种情况是构不成三角形的;（2）当3cm为底边长,6cm为腰长时,可以构成三角形,故这种情况符合题意,此时该等腰三角形的周长为15cm,选择（C）.拓展:把题目中的3cm改为5cm,则答案又是什么?例7已知2,4nm,且,0mn则nm__________.分析:这是七年级上册数学的内容,考查的是关于绝对值的知识点.关于绝对值的题目大多数也需要讨论.解:∵2,4nm∴2,4nm∵0mn∴nm、异号,分为两种情况:（1）当2,4nm时,224nm;（2）当2,4nm时,224nm.综上所述,2nm.我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的团队资料第6页注意:本题的两种情况虽然是相互独立的,但结果却是一样的.例8已知bababa则且,,3,2__________.解:∵3,2ba∴3,2ba∵ba∴分为下面两种情况:（1）当3,2ba时,532)3(2ba;（2）当3,2ba时,132)3(2ba.综上所述,ba的值为1或5.补充:分类讨论思想解决问题的一般步骤是:1.先明确需要讨论的对象;2.选择分类的标准,进行合理分类（统一标准不重不漏）;3.逐类讨论;4.归纳总结,得出结论（结果）.关于比较大小的讨论例9已知64,222mmBmmA,试比较BA、的大小.分析:在比较两个代数式的大小关系时,常采用作差比较法.解:∵64,222mmBmmA∴64222mmmmBA6264222mmmmm分为以下三种情况:（1）当,062m即3m时,BABA,0;我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的团队资料第7页（2）当,062m即3m时,;,0BABA（3）当,062m即3m时,.,0BABA例10解关于x的不等式63xa.分析:既然是关于x的不等式,那么要求3,03aa即,在分类讨论的时候不再讨论这种情况.解:根据不等式的性质,分为两种情况:（1）当3,03aa即时,该不等式的解集为36ax;（2）当3,03aa即时,该不等式的解集为36ax.例11关于x的不等式3232mxm的解集为__________.你自己写出解的过程.解:例12一等腰三角形一腰上的高与另一腰成35°角,则此等腰三角形的顶角是__________度.解:分为三种情况:（1）当顶角为锐角时,如图（5）所示,则顶角为90°－35°=55°;（2）当顶角为直角时,如图（6）所示,不符合题意;（3）当顶角为钝角时,如图（7）所示,则顶角为1253590180.综上所述,该等腰三角形的顶角为55°或125°.我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的团队资料第8页35°35°35°图（5）图（6）图（7）例13若324xx的值为负数,则x的取值范围是____________.分析:乘除法的运算法则是:同号得正,异号得负.解:∵324xx的值为负数∴324xx与异号∴分为两种情况:（1）03204xx,解得该不等式组的解集为23x;（2）03204xx,解得该不等式组的解集为4x.综上所述,x的取值范围是23x或4x.（注意,这里用“或”,不能用“且”）例14化简ba1.解:分为两种情况:（1）当ba时,aaaaaaba221211;（2）当ba时,babababababa1.我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的团队资料第9页例15两条相交的直线所组成的图形的对称轴有__________条.分析:直线相交有两种情形:一般相交和垂直相交,从对称的角度考虑,这两种相交的对称情况是不一样的.解:分为两种情况:（1）若这两条直线不垂直,如图（8）所示,则整个图形的对称轴只有2条;（2）若这两条直线垂直,如图（9）所示,则整个图形的对称轴有4条.综上所述,两条相交的直线所组成的图形的对称轴有2或4条.图（8）图（9）例16已知942mxx是完全平方公式,则m__________.分析:完全平方公式有两种:2222bababa.解:分为两种情况:（1）当942mxx为完全平方和公式时,有91249432942222xxmxxxmxx所以12m;（2）当942mxx为完全平方差公式时,有我们的团队---内部资料志存高远奋发图强我们的团队资料第10页91249432942222xxmxxxmxx所以12m.综上所述,12m.注意:例16为易错题,八年级的学生应该注意.说明:在以后我们还会遇到许多分类讨论的题目,到时候我再给你们补充,这里只选16道例题,希望你们对此类题目加以重视.