华东师范大学-数学分析-第9章

第九章定积分§1定积分的概念（教材上册P204）1.按定积分定义证明：()bakdxkba知识点窍定积分的定义.逻辑推理按定积分定义证明.解0，对[,]ab作任意分割T，并在其上任意选取点集{i}，因为111(),[,],()()nnniiiiiiifxkxabfxkxkxkba任意取定0，当T时所以k在[,]ab上可积，且()bakdxkba.2.通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限，求计算下列定积分.（1）130xdx（2）10xedx（3）bxaedx（4）2(0)badxabx知识点窍定积分的定义.逻辑推理利用定积分的定义计算定积分，关键是()fx在区间[,]ab上是否可积，若可积，则由定积分的定义，()bafxdx的值就应与区间[,]ab的分法及点i的取法无关.解（1）将[0,1]n等分，分点为，k=0，1，…，n.在区间1[,]kknn上取kn作为k而133011lim()nnkkxdxnn3411limnnkkn224111lim(1)44nnnn.（2）将[0,1]n等分，分点为，k=0，1，…，n.在区间1[,]kknn上取kn作为k，则101111limlimkknnxnnnnkkedxeenn111(1)lim111[1()](1)1lim1.111[1()]nnnneeneennennn（3）将[,]abn等分，分点为()kaban，k=0，1，…，n.在区间1[(),()]kkabaabann上取()kaban作为k，则()1limknababxnankbaedxen()1lim(1)lim11[1()()](1)lim11[1()()].kbanannkbabanabannbaanbabaeenbaeeenebabaebannebanbannee（4）取1iiixx后21111011111111()()()nniiiiijiniixxxxxxabxx将[,]abn等分，分点为()kaban，k=0，1，…，n.在区间1[]kkxx上取1kkxx作为k则21211111lim()()nbkkankkkdxxxxabxx.§2牛顿—莱布尼茨公式（教材上册P206）1.计算下列定积分.（1）10(23)xdx（2）212011xdxx（3）2lneedxxx（4）102xxeedx（5）230tanxdx（6）941()xdxx（7）401dxx（8）211(ln)eexdxx知识点窍牛顿—莱布尼茨公式.解（1）10120(23)34xdxxx.（2）1100211220012(1)2arctan1112xdxdxxxxx.（3）2221(ln)lnlnln2lnlneeeeeedxdxxxxx.（4）10110111()12222xxxxeedxeeee.（5）22233322000sin1costancoscosxxxdxdxdxxx30(tan)33xx.（6）94392412144()(2)323xdxxxx.（7）4044002[22ln(1)]42ln311dxxdxxxxx.（8）122311112(ln)(ln)(ln)(ln)33eeeeeexdxxdxxx.2.利用定积分求极限.（1）3341lim(12)nnn（2）222111lim(1)(2)()nnnnnn（3）2222111lim()122nnnnn（4）121lim(sinsinsin)nnnnnn知识点窍定积分求极限.逻辑推理由定积分的定义知，若()fx在[,]ab上可积，则可对[,]ab用某种特定的分法，并取特殊的点，所得积分和的极限就是()fx在[,]ab上的定积分.因此，本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.解（1）记3()fxx，则()fx在[0,1]上连续且可积，取12{0,,,}nTnnn,,1,2,,iiiixinn则31300111lim()limnniiTniiixdxfxnn33341lim(123)nnn101144.（2）记21()(1)fxx，[0,1]x，则f在[0,1]上连续，所以可积，取12{0,,,,}nTnnn,,1,2,,iiiixinn.则120021111lim()lim(1)(1)nniiTniiexfxixnn222111lim[](1)(2)()nnnnnn10111()(1)122x.（3）记21()1fxx，[0,1]x，则f在[0,1]上连续，所以可积.取12{0,,,,}nTnnn，,1,2,,iiiixinn.则120021111lim()lim11()nniiTniidxfxixnn2222111lim()12nnnnnnn10arctan4.（4）记()sinfxx，[0,]x，则f在[0,]上连续，所以可积，取2(1){0,,,,,}nTnnn，1(1)iiiixxn，1,2,,.in则0011(1)sinlim()limsinniiTniinxdxfxnn12(1)lim(sinsinsin)nnnnnn0cos2.x12()2lim(sinsinsin).nnnnnnn§3可积条件（教材上册P212）1.证明：若T是T增加若干个分点后所得的分割，则iiiiTTwxwx解设T的分点为:121,,,nxxx,且012naxxxxb设T比T只多一个分点x，且1.kkxxx设()fx在1[,],[,]kkxxxx和1[,]kkxx的振幅分别为,kkww与kw,因为函数在子区间上的振幅总大于其在大区间上的振幅，即有,kkk11()()()()kkkkkkkkwxxwxxwxxwxx1()kkkwxx除第k个区间外，()fx在这些区间上T和T的振幅相等.于是iiiiTTwxwx若T比T多若干个分点，则在T基础上逐次增加一个的办法，则上述结论也成立.2.证明：若f在[,]ab上可积，[,][,]ab，则f在[,]上也可积.知识点窍可积准则.解f在[,]ab上可积0，总存在相应的某一分割T，使得iiTwx设T的分点为012naxxxxb若1[,](,)ttxx则取T0:nxx()()iiitTwxwwf在[,]上可积若11ttssxxxx则取0111:ttsTxxxxx1iikkiiTktTwxwxwxf在[,]上可积，综上得f在[,]上可积.3.设f,g均为定义在[,]ab上的有界函数.证明：若仅在[,]ab中有限个点处()()fxgx，则当f在[,]ab上可积时，g在[,]ab上也可积，且()()bbaafxdxgxdx知识点窍可积准则.解不妨设f和g仅在一点0[,]xab处,()()fxgx.在给分法T，()kwf和()kwg分别为f和g在第k个区间的振幅，()wf和()wg为f和g在[,]ab上振幅，则由f,g有界M()()kwfwfM()()wgwgM0x最多属于两个相邻小区间1[,]ttxx和1[,]ttxx则111()[()()]()nnnkikkikikkkwgxwgwfxwfx111[()()][()()]ttttttwgwfxwgwfx1()nkikwfx其中111|[()()][()()]|2(tttttttwgwfxwgwfxMx1)0(0)txT1()0(0)nkikwfxT1()0(0)nkikwgxTg在[,]ab上也可积任给[,]ab分法T，取特殊0,0,1,,.kxkn则11()()nnkkkkkkfxgx0011lim()lim()nnkkkkTTkkfxgx()()bbaafxdxgxdx4.设f在[,]ab上有界，{}[,]naab，limnnac，证明：若f在[,]ab上只有(1,2,)nan为其间断点，则f在[,]ab上可积.知识点窍可积准则.逻辑推理设limnnaca，取合适的0，使0，再利用()fx在[,]ab上可积，存在[,]ab上的分割T使2iiTx，最后将[,]aa与T合并，得[,]ab上的分割T，有iiTx，即得证f在[,]ab上可积.解不妨设limnnaca,()fx在[,]ab上的振幅为.0，取02，因limnnaa，所以存在N，使当nN时，[,]naaa，从而()fx在[,]ab上至多只有有限个间断点，由定理9.5知()fx在[,]ab上可积，再有可积准则知，存在[,]ab上的分割T，使2iiTx.把[,]aa与T合并，就构成[,]ab的一个分割T，设0为()fx在[,]aa上的振幅，则**0.22iiiiiiTTTxxx故由可积准则知,()fx在[,]ab上可积.5.证明：若f在区间上有界，则知识点窍确界的定义.逻辑推理对两个上确界和一个下确界，不便同时处理，可选定两个看作常数，而对第三个用确界定义证明.解记sup().inf()xxAfxBfx（1）如果()ABfxA,x.上述等式两边为零，成立.（2）如AB，则对10()2AB，及x，x，有()()fxfxAB,()()fxfxAB|()()|fxfxAB同时x,x,使()2fxA,()2fxB|()()|()()().22fxfxABAB,sup|()()|sup()inf().xxxxfxfxABfxfx§4定积分的性质（教材上册P219）1.证明：若f与g都在[,]ab上可积，则01lim()()()()nbiiiaTifgxfxgxdx其中i,i是T所属小区间i中的任意两点,1,2,,.in知识点窍定积分的性质.逻辑推理设01()()lim()()nbiiiaTiIfxgxdxfgx，则只需证0,0,当T时11||()()|[()()()()]|nniiiiiiiiiifgxIfgfgx1|()()|niiiifgxI即可.解f在[,]ab上可积，则f有界，即