6.6-数列高职高考全真试题

6.6数列高职高考全真试题一、选择题(每小题5分)1.(2011年)在等差数列{an}中,若a6=30,则a3+a9=()A.20B.40C.60D.80【答案】C2.(2012年)在等比数列{an}中,a1=1,公比q=𝟐,若an=8𝟐,则n=()A.6B.7C.8D.9【答案】C3.(2012年)设{an}为等差数列,a2和a3是方程x2-5x+6=0的两个根,则a1+a4=()A.2B.3C.5D.64.(2013年)若a,b,c,d均为正实数,且c是a和b的等差中项,d是a和b的等比中项,则有()A.abcdB.ab≥cdC.abcdD.ab≤cd【答案】C【答案】D5.(2014年)已知数列{an}的前n项和Sn=𝒏𝒏+𝟏,则a5=()A.𝟏𝟒𝟐B.𝟏𝟑𝟎C.𝟒𝟓D.𝟓𝟔6.(2015年)在各项为正数的等比数列{an}中,若a1·a4=𝟏𝟑,则log3a2+log3a3=()A.-1B.1C.-3D.3【答案】B【答案】A7.(2016年)已知数列{an}是等比数列,其中a3=7,a6=56,则该等比数列的公比是()A.8B.4C.3D.2【答案】D8.(2017年)已知数列{an}为等差数列,且a1=2,公差d=2，若a1,a2,ak成等比数列，则k=()A.4B.6C.8D.10【答案】A二、填空题(每小题5分)9.(2011年)已知等比数列{an}满足a1+a2+a3=1,a4+a5+a6=-2,则{an}的公比q=.10.(2013年)已知数列{an}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12,则an=.11.(2014年)已知等比数列{an},满足an0(n∈N*)且a5a7=9,则a6=.【答案】3【答案】2n【答案】-212.(2015年)若等比数列{an}满足a1=4,a2=20,则{an}的前n项和Sn=.13.(2016年)等差数列{an}中,已知a4+a8+a10=50,则a2+2a10=.14.设等比数列{an}的前n项和，则{an}的公比q=.【答案】5n-1【答案】501133nnS【答案】13三、解答题15.(2011年)已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足a1=1,an+1=Sn+1(n∈N*).(1)求{an}的通项公式;解:由an+1=Sn+1(n∈N*),则an=Sn-1+1(n≥2,n∈N*).所以an+1-an=Sn-Sn-1an=(n≥2,n∈N*).得an+1=2an,即𝒂𝒏+𝟏𝒂𝒏=2.又a2=S1+1=2,a1=1即{an}是以公比为2,首项为1的等比数列.由an=a1qn-1所以an=2n-1.(2)设等差数列{bn}的前n项和为Tn,若T3=30,bn≥0(n∈N*),且a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,求Tn;解:设{bn}的公差为d,由T3=30,则b1+b2+b3=30.而b1+b3=2b2,得b2=10.所以b1=10-d,b3=10+d.又a1+b1,a2+b2,a3+b3成等比数列,a1=1,a2=2,a3=4,则(𝒂𝟐+𝒃𝟐)𝟐=(a1+b1)(a3+b3).解得d=2或d=-5.而bn≥0,故d=2.由Tn=nb1+𝒏(𝒏−𝟏)𝒅𝟐,b1=10-2=8,d=2,所以Tn=n2+7n.(3)证明:𝑻𝒏𝒂𝒏≤9(n∈N*).证明:设Cn=𝑻𝒏𝒂𝒏=𝒏𝟐+𝟕𝒏𝟐𝒏−𝟏则Cn+1-Cn=(𝒏+𝟏)𝟐+𝟕(𝒏+𝟏)𝟐𝒏-𝒏𝟐+𝟕𝒏𝟐𝒏−𝟏=𝟖−𝟓𝒏−𝒏𝟐𝟐𝒏当n=1时,C2-C10,∴C2C1;当n≥2时,Cn+1-Cn0,∴CnC2.即C2最大,而C2=9故Cn≤9所以𝑻𝒏𝒂𝒏≤9(n∈N*).16.(2012年)函数f(x)=ax+b,满足f(0)=1和f(1)=2.(1)求a和b的值;解:由f(x)=ax+b,且f(0)=1,f(1)=2,则0+b=1,a+b=2.解得a=1,b=1.解:由f(x)=ax+b,an+1=3f(an)-1,则an+1=3(an+1)-1.所以an+1+1=3(an+1).即𝒂𝒏+𝟏+𝟏𝒂𝒏+𝟏=3.又a1=1,a1+1=2,即数列{an+1}是以2为首项,公比为3的等比数列.得an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1.即数列{an}的通项公式an=2·3n-1-1.(2)若数列{an}满足an+1=3f(an)-1(n∈N*),且a1=1,求数列{an}的通项公式;(3)若cn=𝒂𝒏𝒂𝒏+𝟏(n∈N*),求数列{cn}的前n项和Sn.解:由cn=𝒂𝒏𝒂𝒏+𝟏,an=2·3n-1-1,则cn=𝟐·𝟑𝒏−𝟏−𝟏𝟐·𝟑𝒏−𝟏=1-𝟏𝟐·𝟏𝟑𝒏−𝟏.由Sn=c1+c2+c3+…+cn,则Sn=1-𝟏𝟐+1-𝟏𝟐·𝟏𝟑+1-𝟏𝟐·𝟏𝟑𝟐+…+1-𝟏𝟐·𝟏𝟑𝒏−𝟏=n-𝟏𝟐(1+𝟏𝟑+𝟏𝟑𝟐+…+𝟏𝟑𝒏−𝟏)=n-𝟏𝟐(𝟑𝟐-𝟏𝟐·𝟑𝒏−𝟏).即数列{cn}的前n项和Sn=n-𝟑𝟒+𝟏𝟒·𝟑𝒏−𝟏.17.(2013年)已知数列{an}的首项a1=1,an=2an-1+n2-4n+2(n=2,3,…),数列{bn}的通项公式为bn=an+n2(n∈N+).(1)证明:数列{bn}是等比数列;解:证明:由bn=𝒂𝒏+n2,得bn-1=an-1+(n-1)2.由an=2an-1+n2-4n+2(n=2,3,…),bn=an+n2,则bn=2an-1+n2-4n+2+n2.所以𝒃𝒏𝒃𝒏−𝟏=𝟐𝒂𝒏−𝟏+𝒏𝟐−𝟒𝒏+𝟐+𝒏𝟐𝒂𝒏−𝟏+(𝒏−𝟏)𝟐=𝟐𝒂𝒏−𝟏+𝟐(𝒏−𝟏)𝟐𝒂𝒏−𝟏+(𝒏−𝟏)𝟐=2(常数).又由b1=𝒂𝟏+12,a1=1,则b1=2即{bn}是以2为首项,公比为2的等比数列.(2)求数列{bn}的前n项和Sn.解:由(1)得bn=b1·qn-1=2n.∴Sn=𝒂𝟏(𝟏−𝒒𝒏)𝟏−𝒒=𝟐(𝟏−𝟐𝒏)𝟏−𝟐=2n+1-2.即数列{bn}的前n项和Sn=2n+1-2.18.(2014年)已知数列{an}满足an+1=2+an(n∈N*),且a1=1.(1)求数列{an}的通项公式及{an}的前n项和Sn;解:由an+1=2+an,则an+1-an=2(常数).又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,公差为2的等差数列.由an=a1+(n-1)d,得an=1+2(n-1)=2n-1.因为Sn=𝒏(𝒂𝟏+𝒂𝒏)𝟐,a1=1,所以Sn=𝒏(𝟏+𝟐𝒏−𝟏)𝟐=n2.(2)设bn=2an,求数列{bn}的前n项和Tn;解:由bn=𝟐𝒂𝒏,an=2n-1,得bn+1=22n+1.则𝒃𝒏+𝟏𝒃𝒏=4.又有b1=21=2,即数列{bn}是以2为首项,公比为4的等比数列.由Tn=𝒃𝟏(𝟏−𝒒𝒏)𝟏−𝒒所以Tn=𝟐(𝟏−𝟒𝒏)𝟏−𝟒=𝟐𝟑(4n-1),即数列{bn}的前n项和Tn=𝟐𝟑(4n-1).(3)证明:𝑻𝒏𝑻𝒏+𝟐𝑻𝒏+𝟏1(n∈N*).解:证明:由Tn=𝟐𝟑(4n-1),则Tn+2=𝟐𝟑(4n+2-1)0,Tn+1=𝟐𝟑(4n+1-1)0.得𝑻𝒏+𝟏𝟐-Tn·Tn+2=𝟒𝟗(𝟒𝒏+𝟏−𝟏)𝟐-𝟒𝟗(4n-1)(4n+2-1)=𝟒𝟗[42n+2-2·4n+1+1-(42n+2-4n-4n+2+1)]=4n+10.所以Tn+12Tn·Tn+2,即𝑻𝒏𝑻𝒏+𝟐𝑻𝒏+𝟏𝟐1.19.(2015年)在等差数列{an}中,已知a4=9,a6+a7=28.(1)求数列{an}的通项公式;解:由a4=9,a6+a7=28,且an=a1+(n-1)d,得a1+3d=9,a1+5d+a1+6d=28,解得a1=3,d=2.所以an=2n+1.(2)求数列{an}的前n项和Sn;解:由Sn=𝒏(𝒂𝟏+𝒂𝒏)𝟐,an=2n+1,a1=3,所以Sn=𝒏(𝟑+𝟐𝒏+𝟏)𝟐=n2+2n.(3)若bn=𝟏𝒂𝒏𝟐−𝟏(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn,证明:Tn𝟏𝟒.解:由bn=𝟏𝒂𝒏𝟐−𝟏,an=2n+1,得bn=𝟏𝟒𝒏𝟐+𝟒𝒏.由Tn=b1+b2+b3+…+bn,Tn=𝟏𝟒×𝟏×𝟐+𝟏𝟒×𝟐×𝟑+𝟏𝟒×𝟑×𝟒+…+𝟏𝟒𝒏(𝒏+𝟏)=𝟏𝟒(𝟏𝟏×𝟐+𝟏𝟐×𝟑+𝟏𝟑×𝟒+…+𝟏𝒏(𝒏+𝟏))=𝟏𝟒(1-𝟏𝟐+𝟏𝟐-𝟏𝟑+𝟏𝟑-𝟏𝟒+…+𝟏𝒏-𝟏𝒏+𝟏)=𝟏𝟒(1-𝟏𝒏+𝟏).所以Tn=𝟏𝟒·𝒏𝒏+𝟏,而𝒏𝒏+𝟏1,∴Tn𝟏𝟒.20.(2016年)已知数列{an}中,若an+Sn=1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;解:由an+Sn=1(n∈N*)得an-1+Sn-1=1(n≥2,n∈N*)即有𝒂𝒏+𝑺𝒏=𝟏①𝒂𝒏−𝟏+𝑺𝒏−𝟏=𝟏②①-②得∴an-an-1+Sn-Sn-1=0∴2an=an-1∴𝒂𝒏𝒂𝒏−𝟏=𝟏𝟐(n≥2,n∈N*)又因为当n=1时,a1+S1=2a1=1∴a1=𝟏𝟐∴数列{an}是以a1=𝟏𝟐,公比q=𝟏𝟐的等比数列.∴数列{an}的通项公式为:an=(𝟏𝟐)n.(2)若数列{bn}满足bn=log2an(n∈N*),求数列{bn}的前n项和Tn.解:由(1)可知an=(𝟏𝟐)n.∵数列{bn}满足bn=log2an(n∈N*),∴bn=log2an=log2(𝟏𝟐)n=-n.∴Tn=b1+b2+…+bn=(-1)+(-2)+…+(-n)=-𝒏(𝒏+𝟏)𝟐即数列{bn}的前n项和Tn=-𝒏(𝒏+𝟏)𝟐.71221.(2017){},{},16,26.(1).nnnnnaSanaaaS年已知数列是等差数列是的前项和若求及111121(1)616,4,2,1126(1)22,()(422)3.22nnndadadadaandnnaannSnn解：设公差为，则解得1(2),{}.2nnnnbbnTS设求数列的前项和21211232111,(1)(2)12...111111[()()...()]23341211.2224nnnnbSnnnnnnTbbbnnnnn