上海数学高二知识点总结

数列：1.数列的有关概念：（1）数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数。（2）通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。如:221nan。（3）递推公式：已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an-1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。如:121,2,aa12(2)nnnaaan。2．数列的表示方法：（1）列举法：如1，3，5，7，9，…（2）图象法：用（n,an）孤立点表示。（3）解析法：用通项公式表示。（4）递推法：用递推公式表示。3．数列的分类：4．数列{an}及前n项和之间的关系:123nnSaaaa11,(1),(2)nnnSnaSSn5．等差数列与等比数列对比小结：等差数列等比数列一、定义1(2)nnaadn1(2)nnaqna二、公式1．11naand,nmaanmdnm2．12nnnaaS112nnnad1．11nnaaq,()nmnmaaqnm2．11111111nnnnaqSaqaaqqqq三、性质1．,,2abcbac成等差，称b为a与c的等差中项2．若mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa3．nS，2nnSS，32nnSS成等差数列1．2,,abcbac成等比，称b为a与c的等比中项2．若mnpq（m、n、p、*q），则mnpqaaaa3．nS，2nnSS，32nnSS成等比数列（三）不等式1、0abab；0abab；0abab．2、不等式的性质：①abba；②,abbcac；③abacbc；④,0abcacbc，,0abcacbc；⑤,abcdacbd；⑥0,0abcdacbd；⑦0,1nnababnn；⑧0,1nnababnn．小结：代数式的大小比较或证明通常用作差比较法：作差、化积（商）、判断、结论。在字母比较的选择或填空题中，常采用特值法验证。3、一元二次不等式解法：（1）化成标准式：20,(0)axbxca；（2）求出对应的一元二次方程的根；（3）画出对应的二次函数的图象；（4）根据不等号方向取出相应的解集。线性规划问题：1．了解线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解2．线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题．3．解线性规划实际问题的步骤：（1）将数据列成表格；（2）列出约束条件与目标函数；（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；（4）验证。两类主要的目标函数的几何意义:①zaxby-----直线的截距；②22()()zxayb-----两点的距离或圆的半径；4、均值定理：若0a，0b，则2abab，即2abab．20,02ababab；2ab称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数．5、均值定理的应用：设x、y都为正数，则有⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s．⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三等”三个条件同时成立。向量——既有大小又有方向的量在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。（6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。规定零向量与任意向量平行。（7）向量的加、减法如图：（8）平面向量基本定理（向量的分解定理）的一组基底。（9）向量的坐标表示表示。平面向量的数量积数量积的几何意义：（2）数量积的运算法则［练习］答案：答案：2答案：线段的定比分点直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x122122221PPxxyy3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即3.2.1直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l经过点),(000yxP，且斜率为k)(00xxkyy2、、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为),0(bbkxy3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxxy-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A)0,(a，与y轴的交点为B),0(b，其中0,0ba3.2.3直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=034202220xyxy得解：解方程组x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）3.3.2两点间距离两点间的距离公式3.3.3点到直线的距离公式1．点到直线距离公式：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd第四章圆与方程4.1.1圆的标准方程1、圆的标准方程：222()()xaybr圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程2、点00(,)Mxy与圆222()()xaybr的关系的判断方法：（1）2200()()xayb2r，点在圆外（2）2200()()xayb=2r，点在圆上（3）2200()()xayb2r，点在圆内4.1.2圆的一般方程1、圆的一般方程：022FEyDxyx2、圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项．(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。4.2.1圆与圆的位置关系1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．设直线l：0cbyax，圆C：022FEyDxyx，圆的半径为r，圆心)2,2(ED到直线的距离为d，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当rd时，直线l与圆C相离；（2）当rd时，直线l与圆C相切；（3）当rd时，直线l与圆C相交；4.2.2圆与圆的位置关系两圆的位置关系．设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：（1）当21rrl时，圆1C与圆2C相离；（2）当21rrl时，圆1C与圆2C外切；（3）当||21rr21rrl时，圆1C与圆2C相交；（4）当||21rrl时，圆1C与圆2C内切；（5）当||21rrl时，圆1C与圆2C内含；4.2.3直线与圆的方程的应用1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系；2、过程与方法用坐标法解决几何问题的步骤：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．4.3.1空间直角坐标系1、点M对应着唯一确定的有序实数组),,(zyx，x、y、z分别是P、Q、R在x、y、z轴上的坐标2、有序实数组),,(zyx，对应着空间直角坐标系中的一点3、空间中任意点M的坐标都可以用有序实数组),,(zyx来表示，该数组叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记M),,(zyx，x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。4.3.2空间两点间的距离公式1、空间中任意一点),,(1111zyxP到点),,(2222zyxP之间的距离公式22122122121)()()(zzyyxxPP圆锥曲线1、平面内与两个定点1F，2F的距离之和等于常数（大于12FF）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121FFaaMFMF。这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距．2、椭圆的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210xyabab222210yxabab范围axa且bybbxb且aya顶点1,0a、2,0a10,b、20,b10,a、20,a1,0b、2,0b轴长短轴的长2b长轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122FFccab对称性关于x轴、y轴、原点对称离心率22101cbeeaa3、平面内与两个定点1F，2F的距离之差的绝对值等于常数（小于12FF）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121FFaaMFMF。这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．4、双曲线的几何性质：焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程222210,0xyabab222210,0yxabab范围xa或xa，yRya或ya，xR顶点1,0a、2,0a10,a、20,a轴长虚轴的长2b实轴的长2a焦点1,0Fc、2,0Fc10,Fc、20,Fc焦距222122FFccab对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称离心率2211cbeeaa渐近线方程byxaayxb5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．6、平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．7、抛物线的几何性质：标准方程22ypx0p22ypx0p22xpy0p22xpy0p图形顶点0,0对称轴x轴y轴焦点,02pF,02pF0,2pF0,2pF准线方程2px2px2py2py离心率1e