求偏导数的三种方法分析

高等数学的内容基本可划分为一元函数和多元函数两大块，其中多元函数包括多元函数微分学和多元函数积分学，而偏导数的计算是多元函数微分学的基础。所谓偏导数就是将多元函数中的某个自变量看作变量，而将其它自变量看作常量，对该变量的导数就称为多元函数对它的偏导数。计算偏导数的方法有多种，下面考研数学的蔡老师对这些不同的方法做些分析和比较，供学习高等数学和复习考研数学的同学们参考。一，求偏导数的三种方法求多元函数在某点处的偏导数有以下三种方法：1）定义求导：按偏导数的定义计算，𝑓𝑥’(𝑥0，𝑦0)=limx→x0𝑓(x，y0)−𝑓(𝑥0，y0)x−x0（或lim∆x→0𝑓(𝑥0+∆x，y0)−𝑓(𝑥0，y0)∆x，∆x也可用字母表示，如t，h，x等）𝑓𝑦’(𝑥0，𝑦0)=limy→y0𝑓(x0，𝑦)−𝑓(𝑥0，y0)y−𝑦0（或lim∆y→0𝑓(𝑥0，y0+∆y)−𝑓(𝑥0，y0)∆y）2）先求导后代值：先求偏导数，再带入该点坐标，即先按偏导数的运算法则求出𝑓𝑥’(𝑥，y)和𝑓𝑦’(𝑥，y)，再将(𝑥，y)用(𝑥0，𝑦0)代入得𝑓𝑥’(𝑥0，𝑦0)和𝑓𝑦’(𝑥0，𝑦0)；3）先代值后求导：先将非偏导变量值代入，再按一元函数求导数的方法求导，即先将y=𝑦0代入z=𝑓(x，𝑦)得z=𝑓(x，𝑦0),再按一元函数对x求导的方法计算得𝑓𝑥’(𝑥0，𝑦0)，同理可求𝑓𝑦’(𝑥0，𝑦0)二，典型题型分析例1.设𝑓(𝑥，𝑦)=𝑥2+𝑦4+𝑦，求𝜕𝑓𝜕𝑥|(0,0),𝜕𝑓𝜕𝑦|(0,0)。解：先求偏导再代值：𝜕𝑓𝜕𝑥=2𝑥，𝜕𝑓𝜕𝑦=4𝑦3+1，𝜕𝑓𝜕𝑥|(0,0)=0，𝜕𝑓𝜕𝑦|(0,0)=1。注：此题也可按另外两种方法计算。例2.已知𝑓(𝑥，𝑦)={𝑥𝑦𝑥2+𝑦2，(𝑥,𝑦)≠(0,0)0，(𝑥,𝑦)=(0,0),求𝜕𝑓𝜕𝑥|(0,0),𝜕𝑓𝜕𝑦|(0,0)。解：由偏导数的定义得𝜕𝑓𝜕𝑥|(0,0)=lim𝑥→0𝑓(𝑥,0)−𝑓(0,0)𝑥=lim𝑥→00𝑥=0,同理𝜕𝑓𝜕𝑦|(0,0)=0也可按先代值再求导的方法计算：由𝑓(𝑥,0)=0，所以𝜕𝑓𝜕𝑥|(0,0)=0，同理𝜕𝑓𝜕𝑦|(0,0)=0注：此题中函数是一个分段函数，不能像普通函数那样先求偏导再代值计算。例3.设𝑓(𝑥,𝑦)=𝑒√𝑥2+𝑦4,求𝜕𝑓𝜕𝑥|(0,0),𝜕𝑓𝜕𝑦|(0,0)。解：由偏导数的定义得𝜕𝑓𝜕𝑥|(0,0)=limx→0𝑓(x,0)−𝑓(0,0)x=limx→0𝑒|𝑥|−1𝑥=limx→0|𝑥|𝑥不存在,𝜕𝑓𝜕𝑦|(0,0)=limy→0𝑓(0,y)−𝑓(0,0)x=limy→0𝑒𝑦2−1𝑦=limy→0𝑦2𝑦=0。注：此题不能先求偏导再代值，因为：𝜕𝑓𝜕𝑥=𝑒√𝑥2+𝑦4∙𝑥√𝑥2+𝑦4,𝜕𝑓𝜕𝑦=𝑒√𝑥2+𝑦4∙2𝑦3√𝑥2+𝑦4,将（0,0）代入时代数式无意义。例4.设z=x(x2+y2)yx+exy则∂z∂x|(1,0)=。解：先代值在求导：z(x,0)=𝑥3,∂z∂x|(1,0)=dz(x,0)dx|x−1=d𝑥3dx|x−1=3。注：此题若按先求导再代值的方法计算，则很麻烦。例5.设𝑢(𝑥,𝑦,𝑧)=𝑥𝑦,求𝑢𝑥=(1,1,1),𝑢𝑦=(1,1,1),𝑢𝑧=(1,1,1).解：方法1(先代值再求导)：由u(x,1,1)=x得𝑢𝑥(1,1,1)=1，由u(1,y,1)=1，得𝑢𝑦(1,1,1)=0，同理可得𝑢𝑧(1,1,1)=0；方法2(先求导再代值)：由𝑢𝑥=𝑦𝑧∙𝑥𝑦−1得𝑢𝑥(1,1,1)=1，由𝑢𝑦=𝑥𝑦ln𝑥∙𝑧𝑦𝑧−1得𝑢𝑦(1,1,1)=0，由𝑢𝑧=𝑥𝑦ln𝑥∙𝑦𝑧ln𝑦得𝑢𝑧(1,1,1)=0。比较上面两种方法，对于本题来讲，显然方法1比方法2简捷。此题若按偏导定义求导，则再其它点处计算较麻烦。从前面的分析和典型例题看到，求多元函数在某点处的偏导数可以使用三种方法，即：按定义求导、先求导后代值和先代值后求导，但要注意的是，并不是所有问题都可以同时使用这三种方法，有些问题只能使用其中的一种或两种方法，另外，有些问题使用某种方法很简单，但使用其它方法却很麻烦，因此，同学们在具体计算时要选择恰当的方法和灵活运用。