职高高一数学——5.2弧度制

§5.2弧度制路漫漫其修远兮吾将上下而求索目标：1、理解并掌握弧度制的定义，2、能进行角度与弧度之间的换算。3、能用弧度制解决简单的问题身高：2.26米体重：125千克1米=3.28043英尺1千克=0.4536磅演示：分别以“英尺”和“磅”为单位,测量姚明的身高和体重.结论：(1)同一个量可用不同的度量制度来度量;(2)不同的结果之间存在换算关系.新课引入日晷(gui)是我国古代利用日影角度的变化来度量时间的一种仪器．现在，我们普遍使用的时钟，实际上也是根据时针、分针和秒针角度的变化来确定时间的．无论采用哪种方法，度量一个确定的量所得到的数量必须是唯一确定的．在初中，我们学习过利用角度来度量角的大小，那么对于角，除了角度制，还可以用其他的方法来度量吗？在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进率是六十进制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新选择角的单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？在角的度量里面，除了角度制外，为了使用方便，数学上还采用另外一种度量制---弧度制.1、什么叫角度制？1º的角是怎样定义的？用度作单位来度量角的单位制叫做角度制。O•AB1º.13601度的角叫做规定周角的一、回顾：角度制n°r2、弧长公式:3、扇形的面积公式：2360RnS扇形180nrllllOSR二、新知：弧度制1radrrOAB若弧AB的长等于半径r,则∠AOB=1rad用弧度作单位来度量角的单位制叫做弧度制。2、1rad的角是怎样定义的？1、什么叫弧度制？)(rad单位：弧度我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad.2radrOABl=2r2πradl=2πrOA（B）r弧度则若2,2rlAOBrl弧度则若2,2rlAOBrl若圆心角∠AOB表示一个负角，且它所对的弧的长为3r，则l=3rOABr-3弧度radrlAOB3一般地：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数为零，角α的弧度数的绝对值：rl||其中l是以角α作为圆心角时所对弧的长，r为圆的半径.实际上，利用弧度数公式除了求角的弧度数以外还可以简化很多与圆相关的公式：如弧长公式，扇形的面积公式等，教材上P100例3就简化的过程作了证明。S=12lr扇形的面积公式：弧长公式：l=ar=2r21a定义的合理性nAOB设180rnlABOlr/A/B/l/r180//rnl180//nrlrl提问：为什么可以用弧长与其半径的比值来度量角的大小呢？即这个比值是否与所取的圆的半径大小有关呢？结论：当半径不同时，同样的圆心角所对的弧长与半径之比是常数OrABLr1A1B1L1L2A2B2Or2与半径大小无关半径弧长比值下列表述中正确的是()A．一弧度是一度的圆心角所对的弧B．一弧度是长度为半径的弧C．一弧度是一度的弧与一度的角之和D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位[答案]D已知半径为10cm的圆上，有一条弧的长是40cm，则该弧所对的圆心角的弧度数是________．[答案]4[化解疑难]角度制和弧度制的比较(1)弧度制与角度制是以不同单位来度量角的单位制．(2)1弧度的角与1度的角所指含义不同，大小更不同．(3)无论是以“弧度”还是以“度”为单位来度量角，角的大小都是一个与“半径”大小无关的值．(4)用“度”作为单位度量角时，“度”(即“°”)不能省略，而用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写.1弧度≠1º弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；思考1：一个圆周角以度为单位度量是多少度？以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？三、拓展：弧度与角度的换算弧度与角度的换算2πradl=2πrOA（B）rrl||r2周角所对的弧长为：22rr周角的弧度数为：360°=2πrad180°=πrad思考2：根据上述关系，1°等于多少弧度？1rad等于多少度？1rad0.01745rad180°1801rad57.305718（）°°°180°=1°×180化解疑难：弧度制与角度制的换算①用角度制和弧度制度量角，零角既是0º角，又是0rad角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的.②平角、周角的弧度数：平角=rad、周角=2rad.③正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.④角的弧度数的绝对值:（l为弧长，r为半径）rl注：（1）关键抓住o180（2）弧度制与角度数是不可以混合写ookk6023360或如：×360°=2rad180°=rad1°180=rad1800.01745rad1rad=30.57=57°18′（1）、把67°30′化成弧度。（2）、把—π弧度化成度。53例1)5.67('3067)1(解：5.67180'3067radrad831805353)2(rad108四、举例应用[化解疑难]角度与弧度互化的原则和方法(1)原则：牢记180°＝πrad，充分利用1°＝π180rad,1rad＝180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n，则αrad＝α·180π°；n°＝n·π180rad.(3)特殊角的弧度数与角度数对应表：角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0π125π125π6角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度7π65π44π33π25π37π411π6π6π4π3π22π33π4π2π正角零角负角正实数0负实数任意角的集合实数集R一一对应角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系第一象限角的集合为第二象限角的集合为第三象限角的集合为第四象限角的集合为A={|0º+k·360º＜＜90º+k·360º,k∈Z}B={|90º+k·360º＜＜180º+k·360º,k∈Z}C={|180º+k·360º＜＜270º+k·360º,k∈Z}D={|270º+k·360º＜＜360º+k·360º,k∈Z}第一象限的角的集合；，}222|{1ZkkkS第二象限的角的集合；，}222|{2ZkkkS第三象限的角的集合；，}2232|{3ZkkkS；，}22223|{4ZkkkS第四象限的角的集合用弧度制表示练习1：用弧度制表示：1)终边在x轴上的角的集合2)终边在y轴上的角的集合3)终边在坐标轴上的角的集合2解：(1)S={=k,kz}(2)S={=+k,kz}2k(3)S={=,kz}锐角：{θ|0°＜θ＜90°}，直角：θ=90°钝角：{θ|90°＜θ＜180°}平角：θ=180°周角：θ=360°0°到90°的角：{θ|0°≤θ90°}；小于90°角：{θ|θ＜90°}0°到180°的角：{θ|0°≤θ180°}0°到360°的角：{θ|0°≤θ360°}练习2：请用弧度制表示下列角度的范围。2,0,222)2,0[),0[)2,0[)2,(角相同的角的集合的角表示终边与下列各、用例2~02315)2(;319)1(36319)1(解：：终边相同的角的集合为与319)}(,23|{Zkk45315)2(终边相同的角有与：终边相同的角的集合为与315)}(,24|{Zkk445又例3.扇形AOB中，所对的圆心角是60º，半径是50米，求的长lABAB解：因为60º=,所以3l=α·r=×50≈52.5.3答：的长约为52.5米.AB例4.在半径为R的圆中，240º的中心角所对的弧长为，面积为2R2的扇形的中心角等于弧度。解：（1）240º=，根据l=αR，得4343lR（2）根据S=lR=αR2，且S=2R2.2121所以α=4.例5.与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角的度数是＿＿＿，合＿＿＿弧度。解：－1825º=－5×360º－25º，所以与角－1825º的终边相同，且绝对值最小的角是－25º.合536例6.已知一半径为R的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧度？扇形的面积是多少？解：周长=2πR=2R+l，所以l=2(π－1)R.所以扇形的中心角是2(π－1)rad.扇形面积是2(1)R五、总结提升（3）掌握弧长公式和扇形面积公式（1）理解弧度制的定义（2）掌握弧度制和角度制的换算方法六、当堂检测完成课本习题P99练习5.2.1、P101练习5.2.2七、作业完成课本习题P101习题5.2（作业本）解题是一种实践性技能,就象游泳、滑雪、弹钢琴一样，只能通过模仿和实践来学到它！——波利亚