2014年山东省高考数学试卷(理科)

高考真题及答案高考真题解析2014年山东省高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4iB．5+4iC．3﹣4iD．3+4i2．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞sinyD．x3＞y36．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．47．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）高考真题及答案高考真题解析A．6B．8C．12D．188．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）9．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5B．4C．D．210．（5分）已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为+=1，双曲线C2的方程为﹣=1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为（）A．x±y=0B．x±y=0C．x±2y=0D．2x±y=0二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为．高考真题及答案高考真题解析12．（5分）若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为．13．（5分）三棱锥P﹣ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D﹣ABE的体积为V1，P﹣ABC的体积为V2，则=．14．（5分）若（ax2+）6的展开式中x3项的系数为20，则a2+b2的最小值为．15．（5分）已知函数y=f（x）（x∈R），对函数y=g（x）（x∈R），定义g（x）关于f（x）的“对称函数”为函数y=h（x）（x∈R），y=h（x）满足：对任意x∈R，两个点（x，h（x）），（x，g（x））关于点（x，f（x））对称．若h（x）是g（x）=关于f（x）=3x+b的“对称函数”，且h（x）＞g（x）恒成立，则实数b的取值范围是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）图象上的最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g（x）的单调递增区间．17．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB=60°，AB=2CD=2，M是线段AB的中点．（Ⅰ）求证：C1M∥平面A1ADD1；（Ⅱ）若CD1垂直于平面ABCD且CD1=，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角（锐角）的余弦值．高考真题及答案高考真题解析18．（12分）乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（Ⅰ）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．19．（12分）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（﹣1）n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．20．（13分）设函数f（x）=﹣k（+lnx）（k为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k≤0时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2）内存在两个极值点，求k的取值范围．21．（14分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．高考真题及答案高考真题解析（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．高考真题及答案高考真题解析2014年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4iB．5+4iC．3﹣4iD．3+4i【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．2．（5分）设集合A={x||x﹣1|＜2}，B={y|y=2x，x∈[0，2]}，则A∩B=（）A．[0，2]B．（1，3）C．[1，3）D．（1，4）【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：A={x丨丨x﹣1丨＜2}={x丨﹣1＜x＜3}，B={y丨y=2x，x∈[0，2]}={y丨1≤y≤4}，则A∩B={x丨1≤y＜3}，故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键．3．（5分）函数f（x）=的定义域为（）A．（0，）B．（2，+∞）C．（0，）∪（2，+∞）D．（0，]∪[2，+∞）高考真题及答案高考真题解析【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域．【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x＞1或log2x＜﹣1，解得x＞2或0＜x＜，即函数的定义域为（0，）∪（2，+∞），故选：C．【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（）A．方程x3+ax+b=0没有实根B．方程x3+ax+b=0至多有一个实根C．方程x3+ax+b=0至多有两个实根D．方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x3+ax+b=0没有实根．故选：A．【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．5．（5分）已知实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）A．B．ln（x2+1）＞ln（y2+1）C．sinx＞sinyD．x3＞y3【分析】实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），可得x＞y，对于A．B．C分别举反例即可否定，对于D：由于y=x3在R上单调递增，即可判断出正误．高考真题及答案高考真题解析【解答】解：∵实数x，y满足ax＜ay（0＜a＜1），∴x＞y，A．取x=2，y=﹣1，不成立；B．\取x=0，y=﹣1，不成立C．取x=π，y=﹣π，不成立；D．由于y=x3在R上单调递增，因此正确故选：D．【点评】本题主要考查函数值的大小比较，利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键．6．（5分）直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）A．2B．4C．2D．4【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，∴曲边梯形的面积是4，故选：D．【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，高考真题及答案高考真题解析同时考查了数形结合的思想，属于基础题．7．（5分）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12，13），[13，14），[14，15），[15，16），[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为（）A．6B．8C．12D．18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率，即可求出第三组中有疗效的人数得到答案；【解答】解：由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人，分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24，0.16，所以第一组有12人，第二组8人，第三组的频率为0.36，所以第三组的人数：18人，第三组中没有疗效的有6人，第三组中有疗效的有12人．故选：C．【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合，列举对事件是解决问题的关键，属中档题．8．（5分）已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）高考真题及答案高考真题解析和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：KOA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．9．（5分）已知x，y满足约束条件，当目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）在该约束条件下取到最小值2时，a2+b2的最小值为（）A．5B．4C．D．2【分析】由约束条件正常可行域，然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标，代入目标函数得到2a+b﹣2=0．a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方，然后由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：由约束条件作可行域如图，高考真题及答案高考真题解析联立，解得：A（2，1）．化目标函数为直线方程得：（b＞0）．由图可知，当直线过A点时，