2013年数学高考备考二轮复习 核心考点七 第21课时 离散型随机变量及其分布

第21课时离散型随机变量及其分布1．(2012年广东)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是()A.49B.13C.29D.19解析：方法一：把符合条件“个位数与十位数之和为奇数的两位数”分成两种类型：一是十位数是奇数，个位数是偶数，共有5×5＝25(个)，其中个位数为0的有10,30,50,70,90共5个；二是十位数是偶数，个位数是奇数，共有4×5＝20(个),∴P＝525＋20＝19.答案：D方法二：设个位数与十位数分别为x，y，则x＋y＝2k－1，k＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，∴x，y分别为一奇一偶．若x为奇数，y为偶数，共有C15×C15＝25(个)；若x为偶数，y为奇数，共有C14×C15＝20(个)．故共有45个数，其中个位数是0，十位数是奇数的两位数有10,30,50,70,90这5个数，∴其个位数是0的概率是545＝19.2．(2011年广东)甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能获冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获冠军的概率为()DA.12B.35C.23D.34解析：设事件Ai(i＝1,2)表示继续比赛时，甲在第i局获胜；事件B表示甲队获冠军，则B＝A1＋A1A2，∴P(B)＝P(A1)＋P(A1A2)＝12＋12×12＝34.3．(2012年上海)三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是________(结果用最简分数表示)．解析：三位同学从三个项目选其中两个项目，有C23C23C23＝27种不同选法．若有且仅有两人选择的项目完全相同，则有C23C23C12＝18种不同选法，∴有且仅有两人选择的项目完全相同的概率为1827＝23.23高考命题的热点主要是以下几个方面：事件的概率(古典概型、几何概型、互斥事件、相互独立事件、n次独立重复实验)问题；统计图、表问题；随机变量的分布列、期望、方差问题．古典概型与几何概型例1：(2012年辽宁)在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为()A.161B.32C.3D.45答案：C解析：设线段AC的长为xcm，则线段CB的长为(12－x)cm，那么矩形的面积为x(12－x)cm2.由x(12－x)32，解得x4或x8.又0x12，∴该矩形面积小于32cm2的概率为23.故选C.【思维点拨】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算，以及分析问题的能力，注意解题的原理为0x12，而x(12－x)32，解不等式求比值即可．【配对练习】1．(2012年湖北)如图1，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()图1A．1－2πB.12－1πC.2πD.1π答案：A图D42解析：如图D42，令OA＝1，扇形OAB为轴对称图形．ACBD围成的面积为S1，OC围成的面积为S2.作对称轴OD，则过点C.S2即为以OA为直径的半圆面积减去三角形OAC的面积，即S2＝12π122－12×12×12＝π－28.在扇形OAD中，S12为扇形OAD的面积－三角形OAC面积－S22.S12＝18π·(1)2－18－S22＝π－216，S1＋S2＝π－24，故扇形OAB的面积S＝14π.∴P＝S1＋S2S＝π－24·4π＝π－2π＝1－2π.故选A.2．某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课程表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_____(用数字作答)．解析：6节课共有A66种不同的排法．语文、数学、外语三门文化课之间间隔1节艺术课有A33A34种不同的排法．三门文化课中，都相邻的有A33A34种排法，三门文化课中有两门相邻的有C23A22C12C12A33种不同的排法，故所有的排法有2A33A34＋C23A22C12C12A33种，∴相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为2A33A34＋C23A22C12C12A33A66＝35.35离散型随机变量的分布列例2：(2012年湖南)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表：一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数/人x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时，前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率(注：将频率视为概率)．＝＝，＝，P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝.解：(1)由已知，得25＋y＋10＝55，x＋y＝35，∴x＝15，y＝20.∵该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，故所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率，得P(X＝1)＝15310020，P(X＝1.5)＝30310010P(X＝2)＝2511004201100510110010∴X的分布为∴X的数学期望为X11.522.53P3203101415110E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，∴P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980，∴该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.【思维点拨】本题考查概率统计的基础知识，考查分布列及数学期望的计算，考查运算能力、分析问题能力．第一问中，根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%，知：25＋y＋10＝100×55%，x＋y＝35，从而解得x，y，计算每一个变量对应的概率，从而求得分布列和期望；第二问中，通过设事件，判断事件之间的互斥关系，从而求得该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．【配对练习】3．(2012年浙江)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X为取出3个球所得分数之和．(1)求X的分布列；(2)求X的数学期望E(X)．解：(1)X的可能取值有3,4,5,6.P(X＝3)＝C35C39＝542；P(X＝4)＝C25C14C39＝2042＝1021；P(X＝5)＝C15C24C39＝1542＝514；P(X＝6)＝C34C39＝242＝121.故所求X的分布列为(2)所求X的数学期望为X3456P5421021514121E(X)＝3×542＋4×1021＋5×514＋6×121＝133.离散型随机变量的期望例3：(2012江西)如图2，从A1(1,0,0)，A2(2,0,0)，B1(0,2,0)，B2(0,2,0)，C1(0,0,1)，C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量V(如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积V＝0)．图2(1)求V＝0的概率；(2)求V的分布列及数学期望．因此V的分布列为解：(1)从6个点中随机选取3个点，总共有C36＝20种不同的取法．选取的3个点与原点在同一个平面内的取法，有C23C34＝12种，因此V＝0的概率为P(V＝0)＝1220＝35.(2)V的所有可能取值为0，16，13，23，43，V016132343P35120320320120【思维点拨】本题考查组合数，随机变量的概率，离散型随机变量的分布列、期望等．高考中，概率解答题一般有两大方向的考查．一是以频率分布直方图为载体，考查统计学中常见的数据特征，如平均数，中位数，频数，频率等或古典概型；二是以应用题为载体，考查条件概率，独立事件的概率，随机变量的期望与方差等．需要特别注意第一种方向的考查．由V的分布列，可得E(V)＝0×35＋16×120＋13×320＋23×320＋43×120＝940.【配对练习】4．(2012年安徽)某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类型试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n＋m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类型试题的数量．(1)求X＝n＋2的概率；(2)设m＝n，求X的分布列和均值(数学期望)．解：(1)X＝n＋2表示两次调题均为A类型试题，概率为nm＋n×n＋1m＋n＋2.(2)当m＝n时，每次调用的是A类型试题的概率为p＝12，随机变量X可取n，n＋1，n＋2，P(X＝n)＝(1－p)2＝14，P(X＝n＋1)＝2p(1－p)＝12，P(X＝n＋2)＝p2＝14.故x的分布列为Xnn＋1n＋2P141214E(X)＝n×14＋(n＋1)×12＋(n＋2)×14＝n＋1.1．离散型随机变量分布列的性质：(1)pi≥0(i＝1,2，…，n)；(2)p1＋p2＋…＋pn＝1.2．两点分布：如果随机变量X的分布列为若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．3．超几何分布：其分布列如下：X01P1－ppX01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN4.二项分布：其分布列如下：若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．5．离散型随机变量的均值和方差：一般地，若离散型随机变量X的分布列为X01…k…nPC0np0(1－p)nC2np1(1－p)n－1…Cknpk(1－p)n－k…Cnnpn(1－p)0Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．称D(X)＝1[nixi－E(X)]2pi＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn为随机变量X的方差．它反映了随机变量取值相对于均值的平均波动大小．6．均值和方差的性质：设a，b是常数，随机变量X，Y满足Y＝aX＋b，则E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(Y)＝D(aX＋b)＝a2D(X)．