2013年数学高考备考二轮复习 核心考点四 第12课时 推理与证明

第12课时推理与证明1．(2012年江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199解析：等式右面的数构成一个数列1,3,4,7,11，数列的前两项相加等于后面的项，即an＋an＋1＝an＋2，所以可推出a10＝123.故选C.C2．(2011年广东)设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的．若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z.且∀a，b，c∈T，有abc)∈T，∀x，y，z∈V，有xyz∈V.则下列结论恒成立的是(A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的解析：由于T∪V＝Z，故必有1∈T或1∈V，不妨设1∈T，则令c=1，依题意对∀a，b∈T，有a，b∈T，从而T对乘法封闭；另一方面，当T＝{非负整数}，V＝{负整数}时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对；当T＝{奇数}，V＝{偶数}时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对．故选A.答案：A3．(2011年山东)设函数f(x)＝xx＋2(x0)，观察：f1(x)＝f(x)＝xx＋2，f2(x)＝f[f1(x)]＝x3x＋4，f3(x)＝f[f2(x)]＝x7x＋8，f4(x)＝f[f3(x)]＝x15x＋16，……根据以上事实，由归纳推理，得当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.解析：观察知：四个等式等号右边的分母为x＋2,3x＋4,7x＋8,15x＋16，即(2－1)x＋2，(4－1)x＋4，(8－1)x＋8，(16－1)x＋16，所以归纳出fn(x)＝f[fn－1(x)]的分母为(2n－1)x＋2n，故当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝x2n－1x＋2n.答案：x2n－1x＋2n4．(2010年四川)设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中真命题是__________(写出所有真命题的序号)．解析：直接验证可知①正确；当S为封闭集时，因为x－y∈S，取x＝y，得0∈S，②正确；对于集合S＝{0}，显然满足所有条件，但S是有限集，③错误；取S＝{0}，T＝{0,1}，满足S⊆T⊆C，但由于0－1＝－1∉T，故T不是封闭集，④错误．答案：①②推理与证明是新课标增加的内容，旨在培养学生的观察、猜测和创新的能力，自2007年新课改第一次高考以来，推理与证明一直是高考关注的对象，主要以三种方式出现：1．以填空题形式考查合情推理(归纳与类比)．2．以选择题形式考查信息给予题．3．与数列等大题相结合，考查推理证明能力，难度不大，但相当有新意，而且常考常新，能达到考查能力的目的，应该引起我们的重视．归纳推理例1：(2012年陕西)观察下列不等式：照此规律，第五个不等式为________________________．1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，……【思维点拨】归纳总结时，看等号左边式子的变化规律，右边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、项数及其变化规律是解答本题的关键．解析：通过观察易知第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162116.答案：1＋122＋132＋142＋152＋162116的一个根是x1，则x1＝－，方程a0x2＋a1x＋a2＝0的两个根是x1，x2，则x1＋x2＝－，由此类推方程a0x3＋a1x2＋a2x＋a3＝0【配对练习】1．(2012年广东佛山三模)已知a0≠0，设方程a0x＋a1＝0的三个根是x1，x2，x3，则x1＋x2＋x3＝________.a1a0a1a0－a1a033＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根据上述规律，第四个等式为________________________________________________________________．解析：第i个等式左边为1到i＋1的立方和，右边为1到i＋1和的完全平方，所以第四个等式为13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)．2．(2010年陕西)观察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)类比推理例2：设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，_____，_____，_____成等比数列．解析：对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n答案：项积为Tn，则T4，T8T4，T12T8，T16T12成等比数列．T8T4T12T8T16T12【配对练习】3．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论____________________________．解析：由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，10b11b12·…·b20＝30b1b2·…·b30a11＋a12＋…＋a2010a1＋a2＋…＋a3030∴10b11b12·…·b20＝30b1b2·…·b30.4．记等差数列{an}的前n项的和为Sn,利用倒序求和的方法，得；类似地，记等比数列{bn}的前n项的积表示成首项b1，末项bn与项数n的一个关系式，即Tn＝_________.解析：Tn＝b1·b2·…·bn，Tn＝bn·bn－1·…·b1，两式相乘，Sn＝na1＋an2为Tn，且bn0(n∈N*)，试类比等差数列求和的方法，可将Tn得T2n＝(bn·b1)·(bn－1·b2)·…·(b1·bn)．由等比中项性质，得Tn＝bn·b1n.bn·b1n信息给予题例3：(2012年湖北)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22,121,3443,94249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99；3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999；则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N*)位回文数有________个．解析：(1)4位回文数只需排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第一位不能为0，故有9(1～9)种情况，第二位有10(0～9)种情况，∴4位回文数有90种．(2)由上面多组数据研究发现，2n＋1位回文数和2n＋2位回文数的个数相同，∴可以算出2n＋2位回文数的个数.2n＋2位回文数只需看前n＋1位的排列情况，第一位不能为0，有9种情况，后面n项每项有10种情况，∴个数为9×10n.答案：909×10n5.(2012年广东茂名二模)在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似地，我们在平面向量集D＝{a|a＝(x，y)，x∈R，y∈R}上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个向量a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，a1a2当且仅当“x1x2”或“x1＝x2且y1y2”．按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：①若e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，0＝(0,0)则e1e20;②若a1a2，a2a3，则a1a3；【配对练习】③若a1a2，则对于任意a∈D，a1＋aa2＋a；④对于任意向量a0，0＝(0,0)，若a1a2，则a·a1a·a2.其中真命题的序号为()A．①②④B．①②③C．①③④D．②③④解析：(1)①显然正确．(2)设a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，a3＝(x3，y3)，由a1a2，得“x1x2”或“x1＝x2且y1y2”，由a2a3，得“x2x3”或“x2＝x3且y2y3”，若x1x2x3，则a1a3.若“x1x2”且“x2＝x3且y2y3”，则x1x3，所以a1a3.若“x1＝x2且y1y2”且“x2x3”，则x1x3，所以a1a3.若“x1＝x2且y1y2”且“x2＝x3且y2y3”，则x1＝x3且y1y3，所以a1a3.a1＋aa3＋a.综上所述，若a1a2，a2a3，则a1a3，所以②正确．(3)设a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，a＝(x，y)，则a1＋a＝(x1＋x，y1＋y)，a2＋a＝(x2＋x，y2＋y)．由a1a2，得“x1x2”或“x1＝x2且y1y2”．若x1x2，则x1＋xx2＋x，所以a1＋aa3＋a.若x1＝x2且y1y2，则x1＋x＝x2＋x且y1＋yy2＋y，所以综上所述，若a1a2，则对于任意a∈D，所以③正确yy1yy2，所以xx1＋yy1xx2＋yy2.所以a·a1a·a2.所以④不正确，综上所述，①②③正确．故选B.答案：B(4)a1＝(x1，y1)，a2＝(x2，y2)，a＝(x，y)，由a0，得“x0”或“x＝0且y0”．由a1a2，得“x1x2”或“x1＝x2且y1y2”．若“x＝0且y0”且“x1x2且y1y2”，则xx1＝xx2＝0且6．(2011年安徽)在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．线，若此直线过两个整点(x1，y1)，(x2，y2)，则有y1＝kx1，y2＝kx2，两式相减，得y1－y2＝k(x1－x2)，则点(x1－x2，y1－y2)也在直线y＝kx上，通过这种方法可以得到直线l经过无穷多个整点，通过上下平移y＝kx，得对于y＝kx＋b也成立，所以③正确；k与b都是有理数，直线y＝kx＋b不一定经过整点，④错误；直线y＝x恰过一个整点，⑤正确．答案：①③⑤解析：令y＝x＋12满足①，故①正确；若k＝2，b＝2，y＝2x＋2过整点(－1,0)，所以②错误；设y＝kx是过原点的直2合情推理包括归纳推理与类比推理：归纳推理是由特殊到一般，类比推理是由特殊到特殊．证明包括直接证明和间接证明：直接证明主要有综合法、分析法等；间接证明主要是反证法．本节要注重三维空间与二维平面的类比(如三角形与三棱锥、四边形与四棱柱、长度与面积、表面积与体积等)、代数运算与向量的类比、等差数列与等比数列的类比、椭圆与双曲线的类比等．学好这一节，不仅可以培养学生运用合情推理去猜测和发现一些新的结论的能力，还可以帮我们在日常的学习中达到事半功倍的效果！