近自由电子近似

固体物理——近自由电子近似主讲:赵琳娜§5.2近自由电子近似尽管作5.1节所述的近似和假定，但由于晶格周期势场V(r)的形式一般都比较复杂，严格求解单电子薛定谔方程仍是不可能的。因此在处理实际问题时需要根据具体的情况采用不同的近似方法。为了计算晶体能带，曾发展了许多近似方法，如原胞法、赝势法，紧束缚近似和近自由电子近似等。本节介绍近自由电子近似方法。——金属中电子受到粒子周期性势场的作用。假定周期性势场的起伏较小，使电子的行为很接近自由电子时采用的处理方法。作为零级近似，可用势场的平均值V代替晶格势V(x)，若要进一步讨论可把周期势的起伏作为微扰处理。这样就可用微扰论来求解薛定谔方程。——这种模型可作为一些简单金属，如Na，K，A1等价电子的粗略近似。为了简单，我们仅以一维情形来说明这种方法。近自由电子模型1）零级近似——电子的能量、波函数一维情况考虑一维单原子链晶体。晶格常数为a，有N个原胞，晶体线度L=Na一维晶格中单电子薛定谔方程)()()()(2222xxExxVdxdmkk---(1)其中周期性势场)()(xVnaxV---(2)其中n为任意整数。波函数满足周期性边界条件：)()(xNaxkk引入周期性边界条件后，k的取值：——l为整数零级近似下的薛定谔方程：自由电子零级能量和零级波函数：)()(xNaxkk2）微扰根据微扰的理论：电子能量的本征值)2()1(0kkkkEEEE一级能量修正：零级能量一级能量修正二级能量修正简并态微扰理论由于在零级近似解中，能量E是k的二次函数，)2(22mkhE，即k与k所标志的电子态都相同的能量，因此是二度简并的。必须采用简并态微扰理论来讨论微扰哈密顿算符Hˆ对波函数和能量的影响。按照简并微扰理论，零级近似的波函数是相互简并的零级波函数的线性组合。因此可选用能量几乎相等的一对波矢为k和)(kkk的波函线的线性组合作为零级近似波函数。情况