抛物线的性质归纳及证明

1抛物线的常见性质及证明概念焦半径：抛物线上一点与其焦点的连线段；焦点弦：两端点在抛物线上且经过抛物线的焦点线段称为焦点弦.性质及证明过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的弦两端点为),(11yxA,),(22yxB,倾斜角为,中点为C(x0,y0),分别过A、B、C作抛物线准线的垂线，垂足为A’、B’、C’.1.求证：①焦半径cos12||1ppxAF；②焦半径cos12||2ppxBF;③1|AF|＋1|BF|＝2p；④弦长|AB|＝x1＋x2＋p=2sin2p；特别地，当x1=x2(=90)时，弦长|AB|最短，称为通径，长为2p；⑤△AOB的面积S△OAB＝sin22p.证明：根据抛物线的定义，|AF|＝|AD|＝x1＋p2，|BF|＝|BC|＝x2＋p2，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p如图2，过A、B引x轴的垂线AA1、BB1，垂足为A1、B1，那么|RF|＝|AD|－|FA1|＝|AF|－|AF|cos，∴|AF|＝|RF|1－cos＝p1－cos同理，|BF|＝|RF|1＋cos＝p1＋cos∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝p1－cos＋p1＋cos＝2psin2.S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝12|OF||y1|＋12|OF||y1|＝12·p2·(|y1|＋|y1|)∵y1y2＝－p2，则y1、y2异号，因此，|y1|＋|y1|＝|y1－y2|∴S△OAB＝p4|y1－y2|＝p4(y1＋y2)2－4y1y2＝p44m2p2＋4p2＝p221＋m2＝p22sin.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOA1B1F图222.求证：①2124pxx；②212yyp；③1|AF|＋1|BF|＝2p.当AB⊥x轴时，有AFBFp，成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：2pykx.代入抛物线方程：2222pkxpx.化简得：222222014pkxpkxk∵方程（1）之二根为x1，x2，∴1224kxx.122111212121111112224xxpppppAFBFAABBxxxxxx121222121222424xxpxxppppppxxpxx.3.求证：'''FBABACRt∠.先证明：∠AMB＝Rt∠【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图3，则△ADM≌△ECM，∴|AM|＝|EM|，|EC|＝|AD|∴|BE|＝|BC|＋|CE|＝|BC|＋|AD|＝|BF|＋|AF|＝|AB|CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图3xyC'CB'A'BOFKA3∴△ABE为等腰三角形，又M是AE的中点，∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠【证法二】取AB的中点N，连结MN，则|MN|＝12(|AD|＋|BC|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|，∴|MN|＝|AN|＝|BN|∴△ABM为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.【证法三】由已知得C(－p2，y2)、D(－p2，y1)，由此得M(－p2，y1＋y22).∴kAM＝y1－y1＋y22x1＋p2＝y1－y22·y212p＋p＝p(y1－y2)y21＋p2＝p(y1－－p2y1)y21＋p2＝py1，同理kBM＝py2∴kAM·kBM＝py1·py2＝p2y1y2＝p2－p2＝－1∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.【证法四】由已知得C(－p2，y2)、D(－p2，y1)，由此得M(－p2，y1＋y22).∴MA→＝(x1＋p2，y1－y22)，MB→＝(x3＋p2，y2－y12)∴MA→·MB→＝(x1＋p2)(x2＋p2)＋(y1－y2)(y2－y1)4＝x1x2＋p2(x1＋x2)＋p24－(y1－y2)24＝p24＋p2(y212p＋y222p)＋p24－y21＋y22－2y1y24＝p22＋y1y22＝p22＋－p22＝0∴MA→⊥MB→，故∠AMB＝Rt∠.【证法五】由下面证得∠DFC＝90，连结FM，则FM＝DM.又AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图4∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4CDBRAxyOF图41234M4∴∠2＋∠3＝12×180＝90∴∠AMB＝Rt∠.接着证明：∠DFC＝Rt∠【证法一】如图5，由于|AD|＝|AF|，AD∥RF，故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝，同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝，而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180∴2(＋)＝180，即＋＝90，故∠DFC＝90【证法二】取CD的中点M，即M(－p2，y1＋y22)由前知kAM＝py1，kCF＝－y2＋p2＋p2＝－y2p＝py1∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF∴∠DFC＝∠AMB＝90.【证法三】∵DF→＝(p，－y1)，CF→＝(p，－y2)，∴DF→·CF→＝p2＋y1y2＝0∴DF→⊥CF→，故∠DFC＝90.【证法四】由于|RF|2＝p2＝－y1y2＝|DR|·|RC|，即|DR||RF|＝|RF||RC|，且∠DRF＝∠FRC＝90∴△DRF∽△FRC∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90∴∠DFR＋∠RFC＝90∴∠DFC＝904.C’A、C’B是抛物线的切线【证法一】∵kAM＝py1，AM的直线方程为y－y1＝py1(x－y212p)图5CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF(p2，0)CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图6GHD1N1NMxyOF图7M1lCDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图8D15与抛物线方程y2＝2px联立消去x得y－y1＝py1(y22p－y212p)，整理得y2－2y1y＋y21＝0可见△＝(2y1)2－4y21＝0，故直线AM与抛物线y2＝2px相切，同理BM也是抛物线的切线，如图8.【证法二】由抛物线方程y2＝2px，两边对x求导，(y2)x＝(2px)x，得2y·yx＝2p，yx＝py，故抛物线y2＝2px在点A(x1，y1)处的切线的斜率为k切＝yx|y＝y1＝py1.又kAM＝py1，∴k切＝kAM，即AM是抛物线在点A处的切线，同理BM也是抛物线的切线.【证法三】∵过点A(x1，y1)的切线方程为y1y＝p(x＋x1)，把M(－p2，y1＋y22)代入左边＝y1·y1＋y22＝y21＋y1y22＝2px1－p22＝px1－p22，右边＝p(－p2＋x1)＝－p22＋px1，左边＝右边，可见，过点A的切线经过点M，即AM是抛物线的切线，同理BM也是抛物线的切线.5.C’A、C’B分别是∠A’AB和∠B’BA的平分线.【证法一】延长AM交BC的延长线于E，如图9，则△ADM≌△ECM，有AD∥BC，AB＝BE，∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.【证法二】由图9可知只须证明直线AB的倾斜角是直线AM的倾斜角的2倍即可，即＝2.且M(－p2，y1＋y22)CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFENM图96∵tan＝kAB＝y2－y1x2－x1＝y2－y1y222p－y212p＝2py1＋y2.tan＝kAM＝y1－y1＋y22x1＋p2＝y1－y22·y212p＋p＝p(y1－y2)y21＋p2＝p(y1－－p2y1)y21＋p2＝py1.∴tan2＝2tan1－tan2＝2py11－(py1)2＝2py1y22－p2＝2py1y22＋y1y2＝2py1＋y2＝tan∴＝2，即AM平分∠DAB，同理BM平分∠CBA.6.AC’、A’F、y轴三线共点，BC’、B’F、y轴三线共点【证法一】如图10，设AM与DF相交于点G1，由以上证明知|AD|＝|AF|，AM平分∠DAF，故AG1也是DF边上的中线，∴G1是DF的中点.设AD与y轴交于点D1，DF与y轴相交于点G2，易知，|DD1|＝|OF|，DD1∥OF，故△DD1G2≌△FOG2∴|DG2|＝|FG2|，则G2也是DF的中点.∴G1与G2重合（设为点G），则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点.【证法二】AM的直线方程为y－y1＝py1(x－y212p)，令x＝0得AM与y轴交于点G1(0，y12)，又DF的直线方程为y＝－y1p(x－p2)，令x＝0得DF与y轴交于点G2(0，y12)∴AM、DF与y轴的相交同一点G(0，y12)，则AM、DF、y轴三线共点，同理BM、CF、y轴也三线共点H．由以上证明还可以得四边形MHFG是矩形.CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOFM图10GHD177.A、O、B’三点共线，B、O、A’三点共线.【证法一】如图11，kOA＝y1x1＝y1y212p＝2py1，kOC＝y2－p2＝－2y2p＝－2py2p2＝－2py2－y1y2＝2py1∴kOA＝kOC，则A、O、C三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法二】设AC与x轴交于点O，∵AD∥RF∥BC∴|RO||AD|＝|CO||CA|＝|BF||AB|，|OF||AF|＝|CB||AB|，又|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，∴|RO||AF|＝|OF||AF|∴|RO|＝|OF|，则O与O重合，即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法三】设AC与x轴交于点O，RF∥BC，|OF||CB|＝|AF||AB|，∴|OF|＝|CB|·|AF||AB|＝|BF|·|AF||AF|＋|BF|＝11|AF|＋1|BF|＝p2【见⑵证】∴O与O重合，则即C、O、A三点共线，同理D、O、B三点也共线.【证法四】∵OC→＝(－p2，y2)，OA→＝(x1，y1)，∵－p2·y1－x1y2＝－p2·y1－y212py2＝－py12－y1y2y12p＝－py12＋p2y12p＝0∴OC→∥OA→，且都以O为端点∴A、O、C三点共线，同理B、O、D三点共线.【推广】过定点P(m，0)的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）相交于点A、B，过A、B两点分别作直线l：x＝－m的垂线，垂足分别为M、N，则A、O、N三点共线，B、O、M三点也共线，如下图：CDB(x2，y2)RA(x1，y1)xyOF图118OyNMBAPxOyNMBAPx8.若|AF|：|BF|＝m：n，点A在第一象限，为直线AB的倾斜角.则cos＝m－nm＋n；【证明】如图14，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D，C，过B作BE⊥AD于E，设|AF|＝mt，|AF|＝nt，则|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，|AE|＝|AD|－|BC|＝(m－n)t∴在Rt△ABE中，cos∠BAE＝|AE||AB|＝(m－n)t(m＋n)t＝m－nm＋n∴cos＝cos∠BAE＝m－nm＋n.【例6】设经过抛物线y2＝2px的焦点F的直线与抛物线相交于两点A、B，且|AF|：|BF|＝3：1，则直线AB的倾斜角的大小为.【答案】60或120.9.以AF为直径的圆与y轴相切，以BF为直径的圆与y轴相切；以AB为直径的圆与准线相切;A’B’为直径的圆与焦点弦AB相切.【说明】如图15，设E是AF的中点，CDBRAxyOEF图14lxyM'A'MOFAxyC'CB'A'BOFKAxyC'CB'A'BOFKA9则E的坐标为(p2＋x12，y12)，则点E到y轴的距离为d＝p2＋x12＝12|AF|故以AF为直径的圆与y轴相切，同理以BF为直径的圆与y轴相切.【说明】如图15，设M是AB的中点，作MN⊥准线l于N，则|MN|＝12(|AD|＋|BC|)＝12(|AF|＋|BF|)＝12|AB|则圆心M到l的距离|MN|＝12|AB|，故以AB为直径的圆与准线相切.10.MN交抛物线于点Q，则Q是MN的中点.