抛物线性质及证明

抛物线焦点弦性质AB是抛物线的焦点弦（即过焦点F），过A、B作对称轴的平行线交准线于P、Q两点，M、N分别是AB和PQ的中点，G、H分别为PF和QF的中点，E是MN的中点。1.ABMN21证：由抛物线定义，ABFBFAQBPAMN212121。2.以AB为直径的圆与准线相切于N证：由1即证。3.NBAN证：由2即证。4.抛物线上点00,yx处的切线方程为xxpyy00证：由抛物线方程pyx22得pydydxyy00，故切线方程为000002xpyyyypyxx，即xxpyy00。5.设2211,,,yxByxA，则4,221221pxxpyy证：设2:ptyxAB，代入抛物线方程得0222pptyy，由Vieta定理221pyy，ptyy221，因此4422222212122121ppyytpyytptyptyxx6.A、B两点处的切线相交于N点证：由4，联立两点切线方程得交点坐标为2,22121yypyy，由5知其为2,221yyp，即N点。7.NA切抛物线于A，NB切抛物线于B证：由6即证。8.FP平分∠AFO，FQ平分∠BFO证：由抛物线定义APFA，故∠AFP=∠APF=∠PFO，即FP平分∠AFO，同理FQ平分∠BFO。9.NA平分∠PAF，NB平分∠PBF证：由4知A点处切线交x轴于0,1xC，于是FApxFC21，故∠NAF=∠NCF=∠PAN，即NA平分∠PAF，同理NB平分∠PBF。10.NA垂直平分PF于G，NB垂直平分QF于H证：因为△APF为等腰三角形，由9知NA是底边PF的中垂线，即NA垂直平分PF于G，同理NB垂直平分QF于H。11.NA平分∠PNF，NB平分∠QNF证：由10知△PNG≌△FNG，故∠PNG=∠FNG，即NA平分∠PNF，同理NB平分∠QNF。12.PQFN21证：由11的证明过程知NQNFNP，即PQFN21。13.FQPF证：由12知以PQ为直径的圆与AB相切于F，因此FQPF。14.ABFN证：由12和11知△PNA≌△FNA，因此由13知ABFN。15.FBFANF2证：由3和14即证。16.FBFAPQ42证：由15和12即证。17.直线AQ过点O，直线BP过点O证：直线AQ的方程为112112xxpxyyyy，于是由5知AQ与y轴交点的纵坐标为0222222221212112111211121111pxytyyyppxyptyyppxyxyppxyxyxyy，即直线AQ过点O，同理直线BP过点O。18.设∠AFx=α，则2cot,2cot2121pypx证：由三角函数定义22cos11pxpx，解得2cot221px，因此2cotsin211ppxy。19.cos1,cos1pFBpFA证：由18的证明过程知2cos11pxp，于是cos121ppxFA，同理cos1pFB。20.pFBFA211证：由19即证。21.221sin2ppxxAB证：由19即证。22.pAB2证：由21即证。23.sin22pSAOB证：由21，sin2sin2212pABpSAOB。24.322pABSAOB证：由21,23即证。25.32sinpSANB证：由1,21，32sinsin21pABMNSANB。26.2pSANB证：由25即证。一般弦性质AB是抛物线的弦，过A、B作对称轴的平行线交准线于P、Q两点，M是AB的中点，N是A、B两点处切线的交点，E是MN的中点。1.NA平分∠PAF，NB平分∠PBF（前面9已证）2.△PNA≌△FNA，△QNB≌△FNB证：由1和抛物线定义即证。3.NA平分∠PNF，NB平分∠QNF证：由2即证。4.NQNPNF证：由2即证。5.∠NFA=∠NFB证：由4和2即证。6.MN平行于x轴（前面6已证）7.E在抛物线上证：设mtyxAB:，代入抛物线方程得0222pmptyy，由Vieta定理：pmyyptyy2,22121，于是由前面6知ptmN,，又ptmptM,2，故ptptE,22，它在抛物线上。8.FBFANF2证：由7的证明过程知：222222221212212122222222222NFpmptpmptpmpmtpmyytpmyytpmtypmtypxpxFBFA。9.AB斜率的倒数pytM证：设2211,,,yxByxA，则2221212,2pxypxy，两式相减得2121212xxpyyyy，移项即证。焦半径性质1.以焦半径为直径的圆与y轴相切。证：由抛物线定义即证。2.设P是抛物线上不与顶点重合的一点，过P作x轴的平行线交y轴于A，则以OA（O为原点）为直径的圆与焦半径相切。证：设00,yxP，则022:000pyypxxyPF，于是OA中点2,00y到PF的距离为rypxpxpxyypxpypxyd2822242220020002020000，故圆与PF相切。