第二章 函数、导数及其应用

第一节函数及其表示[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解函数、映射的概念，会求一些简单的函数定义域和值域．2.理解函数的三种表示法：解析式法、图象法和列表法．3.了解简单的分段函数，并能简单应用.2011·填空题T12010·选择题T102009·填空题T14[归纳·知识整合]1．函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个非空集合对应关系f：A→B按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射[探究]1.函数和映射的区别与联系是什么？提示：二者的区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集，二者的联系是函数是特殊的映射．2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．3．相等函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．[探究]2.若两个函数的定义域与值域都相同，它们是否是同一个函数？提示：不一定．如函数y＝x与y＝x＋1，其定义域与值域完全相同，但不是同一个函数；再如y＝sinx与y＝cosx，其定义域都为R，值域都为[－1,1]，显然不是同一个函数．因为定义域和对应关系完全相同的两个函数的值域也相同，所以定义域和对应关系完全相同的两个函数才是同一个函数．4．函数的表示方法表示函数的常用方法有：解析法、列表法和图象法．5．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数，分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．[探究]3.分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)给出下列五个命题，正确的有()①函数是定义域到值域的对应关系；②函数f(x)＝x－4＋1－x；③f(x)＝5，因这个函数的值不随x的变化而变化，所以f(t2＋1)也等于5；④y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；⑤f(x)＝1与g(x)＝x0表示同一个函数．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选B由函数的定义知①正确；②错误；由x－4≥0，1－x≥0，得定义域为∅，所以不是函数；因为函数f(x)＝5为常数函数，所以f(t2＋1)＝5，故③正确；因为x∈N，所以函数y＝2x(x∈N)的图象是一些离散的点，故④错误；由于函数f(x)＝1的定义域为R，函数g(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}，故⑤错误．综上分析，可知正确的个数是2.2．(教材习题改编)以下给出的对应是从集合A到B的映射的有()①集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应．②集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；③集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；④集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C由于新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即一个班级对应的学生不止一个，所以④不是从集合A到集合B的映射．3.(2012·江西高考)若函数f(x)＝x2＋1，x≤1，lgx，x1，则f(f(10))＝()A．lg101B．2C．1D．0解析：选Bf(10)＝lg10＝1，故f(f(10))＝f(1)＝12＋1＝2.4．(教材习题改编)已知函数f(x)＝x＋2x－6，则f(f(4))＝________；若f(a)＝2，则a＝________.解析：∵f(x)＝x＋2x－6，∴f(4)＝4＋24－6＝－3.∴f(f(4))＝f(－3)＝－3＋2－3－6＝19.∵f(a)＝2，即a＋2a－6＝2，解得a＝14.答案：19145．(教材改编题)函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的定义域为________，值域为________．解析：由图象可知，函数y＝f(x)的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7)[0，＋∞)简单函数的定义域问题[例1](1)(2012·山东高考)函数f(x)＝1lnx＋1＋4－x2的定义域为()A．[－2,0)∪(0,2]B．(－1,0)∪(0,2]C．[－2,2]D．(－1,2](2)已知函数f(x2－1)的定义域为[0,3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．[自主解答](1)x满足x＋10，x＋1≠1，4－x2≥0，即x－1，x≠0，－2≤x≤2.解得－1x0或0x≤2.(2)∵0≤x≤3，∴0≤x2≤9，－1≤x2－1≤8.∴函数y＝f(x)的定义域为[－1,8]．[答案](1)B(2)[－1,8]本例(2)改为f(x)的定义域为[0,3]，求y＝f(x2－1)的定义域．解：∵y＝f(x)的定义域为[0,3]，∴0≤x2－1≤3，解得－2≤x≤－1或1≤x≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．———————————————————简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)对抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出．②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．——————————————————————————————————————1．(1)(2012·江苏高考)函数f(x)＝1－2log6x的定义域为________．(2)已知等腰△ABC周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为()A．RB．{x|x0}C．{x|0x5}D.x|52x5解析：(1)由1－2log6x≥0解得log6x≤12⇒0＜x≤6，故所求定义域为(0，6]．(2)由题意知x0，10－2x0，2x10－2x即52x5.答案：(1)(0，6](2)D简单函数的值域问题[例2]求下列函数的值域：(1)y＝x－3x＋1；(2)y＝x－1－2x；(3)y＝x＋4x.[自主解答](1)法一：(分离常数法)y＝x－3x＋1＝x＋1－4x＋1＝1－4x＋1.因为4x＋1≠0，所以1－4x＋1≠1，即函数的值域是{y|y∈R，y≠1}．法二：由y＝x－3x＋1得yx＋y＝x－3.解得x＝y＋31－y，所以y≠1，即函数值域是{y|y∈R，y≠1}．(2)法一：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝1－t22，于是y＝1－t22－t＝－12(t＋1)2＋1，由于t≥0，所以y≤12，故函数的值域是y|y≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y＝f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤12.所以y≤f12＝12，即函数的值域是y|y≤12.(3)法一：(基本值不等式法)当x0时，x＋4x≥2x×4x＝4，当且仅当x＝2时“＝”成立；当x0时，x＋4x＝－(－x－4x)≤－4，当且仅当x＝－2时“＝”成立．即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f′(x)＝1－4x2＝x2－4x2.x∈(－∞，－2)或x∈(2，＋∞)时，f(x)单调递增，当x∈(－2,0)或x∈(0,2)时，f(x)单调递减．故x＝－2时，f(x)极大值＝f(－2)＝－4；x＝2时，f(x)极小值＝f(2)＝4.即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．若将本例(3)改为“y＝x－4x”，如何求解？解：易知函数y＝x－4x在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y＝x－4x的值域为R.———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域．(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y＝ax＋b±cx＋d(a，b，c，d均为常数，且a≠0)的函数常用换元法求值域，形如y＝ax＋a－bx2的函数用三角函数代换求值域．(4)分离常数法：形如y＝cx＋dax＋b(a≠0)的函数可用此法求值域．(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域．(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围．——————————————————————————————————————2．求下列函数的值域．(1)y＝x2＋2x，x∈[0,3]；(2)y＝x2－xx2－x＋1；(3)y＝log3x＋logx3－1.解：(1)(配方法)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵0≤x≤3，∴1≤x＋1≤4.∴1≤(x＋1)2≤16.∴0≤y≤15，即函数y＝x2＋2x(x∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)y＝x2－x＋1－1x2－x＋1＝1－1x2－x＋1，∵x2－x＋1＝x－122＋34≥34，∴01x2－x＋1≤43，∴－13≤y1，即值域为－13，1.(3)y＝log3x＋1log3x－1，令log3x＝t，则y＝t＋1t－1(t≠0)，当x1时，t0，y≥2t·1t－1＝1，当且仅当t＝1t即log3x＝1，x＝3时，等号成立；当0x1时，t0，y＝－－t＋－1t－1≤－2－1＝－3.当且仅当－t＝－1t即log3x＝－1，x＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．分段函数问题[例3]已知函数f(x)＝12x，x≥4，fx＋1，x4，则f(2＋log23)的值为()A.124B.112C.16D.13[解析]∵2＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)．∵3＋log234，∴f(2＋log23)＝f(3＋log23)＝123＋log23＝18×12log23＝18×13＝124.[答案]A———————————————————求分段函数的函数值时，应根据所给自变量的大小选择相应段的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值范围．做到分段函数分段解决．——————————————————————————————————————3．(2013·宁波模拟)已知函数f(x)＝2x＋1，x1，x2＋ax，x≥1，若f(f(0))＝4a，则实数a等于()A.12B.45C．2D．9解析：选C∵x1，f(x)＝2x＋1，∴f(0)＝2.由f(f(0))＝4a，得f(2)＝4a，∵x≥1，f(x)＝x2＋ax，∴4a＝4＋2a，解得a＝2.求函数的解析式[例4](1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式．(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝