第16章《-二次根式》单元复习课件

形如＿＿(a≥o)的式子叫做二次根式。在二次根式中，字母a必须满足＿＿＿，即被开方数必须是非负数.1.从形式上看，二次根式必须含有“”如：，等号左边是二次根式，右边不是二次根式.9＝3a≥0aa2.被开方数a可以是一个数，也可以是一个含有字母的式子，但前提是a≥0.3.a≥0在二次根式概念中必不可少，因此，对于一些式子，只有在一定的条件下才是二次根式.如只有在x≥－5时，才是二次根式.x＋5分别指出下列根式是不是二次根式：3⑴－72⑵－5()²⑶7⑷2＋a2⑸－2a2－1⑹m2－2m＋1二次根式必须满足的条件：⑴有二次根号；⑵被开方数大于或等于零.解：⑴⑶⑸不是二次根式；⑵⑷⑹是二次根式.a()2＝a(a≥0)，即非负数的算术平方根的平方等于它本身.⑴a≥0(a≥0)具有双重非负性：①a≥0；②a≥0.⑵(a)2＝a(a≥0)是逆用：a＝(a)2(a≥0)，可以利用此公式把一个非负数写成它的算术平方根的平方的形式.如：6＝(6)2，23＝23()等.⑶易错点：在运用性质1时，容易忽略a≥0这一限制条件，导致类似(－3)²＝－3的错误.求下列各式的值：2⑴(300)²⑵349()⑶(－2.7)²⑷(－25)²⑴可直接运用性质1，⑵⑶⑷先利用积的乘方性质(ab)²＝a²b²进行变形，然后再计算.解：⑴(300)²＝30022⑵349()＝3²×49()＝9×49＝4⑶(－2.7)²＝(－1)²×(2.7)²＝2.7⑷(－25)²＝(－2)²×(5)²＝4×5＝20⑵a²表示a²的算术平方根，在这个式子中，a的取值不仅可以是非负数，也可以是负数，因为任何数的平方都是非负数，即a²≥0，所以无论a取何值，二次根式a²都有意义.a2＝a＝a（a≥0）－a（a＜0）⑴在化简a2时，首先一定要弄清楚a是非负数还是负数，若a是非负数，则a2＝a；若a是负数，则a²＝－a.⑶易错点：在运用性质2时，容易产生a是正数的思维定式，从而出现形如(－3)²＝－3的错误.先化简再求值：4x²－36x＋81，其中x＝5.首先利用二次根式的性质将已知式子进行化简，脱去根号后，再把x的值代入求值.解：4x²－36x＋81＝(2x－9)²＝2x－9当x＝5时，2x－9＝2×5－9＝25－9＝9－25算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根.abbaabba(a≥0，b≥0)(a≥0，b≥0)⑵在涉及二次根式运算时，如果没有特别说明，被开方数都是非负数.⑶公式中的a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非负的.⑷当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式的法则进行运算，即系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数.⑸二次根式乘法运算的结果必须化成最简形式.⑴a≥0，b≥0是公式成立的前提条件，如果不满足这个条件，等式的左端就没有意义，等式也就不能成立了。如：－3·－5≠(－3)×(－5)计算：⑴5×15⑵36×218⑶236×(－93)⑷53×1.8×325二次根式的乘法被开方数相乘根指数不变化为最简形式解：⑴5×15＝5×15＝25×3＝53⑵36×218＝(3×2)6×18＝636×3＝363⑶236×(－93)＝23×(－9)6×3＝－69×2＝－182⑷53×1.8×325＝53×1.8×325＝53×95×325＝925＝35两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数商的算术平方根等于分子的算术平方根除以分母的算术平方根的商。ab＝ab(a≥0，b＞0)ab＝ab(a≥0，b＞0)⑵二次根式的运算结果要化到最简，分母中不能带根号.⑶如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数.⑴公式中，a必须是非负数，b必须是正数，式子才成立.如果a、b都是负数，虽然＞0，有意义，但，在实数范围内无意义.ababab计算：⑴32÷8⑵－276÷912利用二次根式除法法则进行计算，被开方数相除时可以用除以一个数（不为零）等于乘以这个数的倒数这个性质约分化简.解：⑴32÷8＝328＝4＝2⑵－276÷912＝－276÷912＝－276×129＝－6二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行，这种把分母中的根号化去的变形，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式.如：与，()与().2336＋56－5分母有理化：⑴75⑵125⑶23＋5利用分数的基本性质，将分子、分母同时乘以分母的有理化因式，使原数的分母中不再带有根号.解：⑴75＝7×55×5＝355⑵125＝1×525×5＝510⑶23＋5＝2×(3－5)(3＋5)(3－5)＝2×(3－5)3²－(5)²＝3－52⑴被开方数不含分母；⑵被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.化简二次根式的条件：化简二次根式的方法：⑴将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；⑵化去根号下的分母；⑶被开方数是多项式时要先因式分解.设a、b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据“当a－b＜0时，a＜b；当a－b＝0时，a＝b；当a－b＞0时，a＞b”来比较a与b的大小.⑴求差法：⑵求商法：如果a、b都是正实数，若＞1，则a＞b；若＞1，则a＞b；若＞1，则a＞b.ababab先将两个根式各自平方，然后比较平方后的大小，再说明原数的大小，即若a＞0，b＞0，且a²＞b²，则a＞b；若a＜0，b＜0，且a²＞b²，则a＜b.⑶平方法：⑷移动因式法：当a＞0、b＞0时，若要比较形如与两数的大小，可先把根号外的正因数a与b平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较.acbd比较下列各式的大小：⑴可选用求差的方法进行比较；⑵可选用求商的方法进行比较；⑶可选用移动因式的方法进行比较.⑴5－3与2＋3⑵75与52⑶37与215解：⑴∵(5－3)－(2＋3)＝3－23＝9－12＜05－3＜2＋3⑵∵75＞0，52＞0且75()÷52()＝275＞075＞52⑶∵37＝63，215＝60而63＞6037＞215几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.同类二次根式的定义：⑴同类二次根式的判断，一般首先需要把所需判断的二次根式化成最简二次根式，再观察被开方数是否相同.若相同，则是同类二次根式，否则不是.⑵几个二次根式是不是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号外的因式或因数无关.⑶只有同类二次根式才可以合并，不是同类二次根式的不能合并.⑷合并同类二次根式时，将同类二次根式的系数相加减，根指数与被开方数（式）保持不变.二次根式加减运算的一般步骤⑴将每个二次根式化为最简二次根式；⑵找出其中同类二次根式；⑶合并同类二次根式.1、在运算过程中要注意，根号外的因式就是这个二次根式的系数，如果系数是带分数，还要化成假分数.2、二次根式化为最简二次根式后，被开方数不同的二次根式不能合并，但是绝不能丢弃，它们也是结果的一部分.计算：⑴2＋8⑵(24－0.5＋223)－(18－6)⑶12－1＋8－2＋11、先将二次根式化成最简二次根式，再合并同类二次根式.2、在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的运算律及去括号、添括号法则仍适用.解：⑴2＋8＝2＋22＝32⑵(24－0.5＋223)－(18－6)＝(26－122＋236)－(142－6)＝26－122＋236－142＋6＝(2＋23＋1)6＋(－12－14)2＝1136－342⑶12－1＋8－2＋1＝1×(2＋1)(2－1)(2＋1)＋22－2＋1＝2＋1＋22－2＋1＝22＋2二次根式混合运算顺序和有理数（式）的运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的.⑴二次根式的和相乘，与多项式乘法类似，并且乘法公式仍然适用；⑵运算结果如果是二次根式，要化为最简二次根式；⑶在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的，要尽量使用乘法公式，这样可以使计算过程简化.计算：⑴(6＋8)×3⑵(46－32)÷22⑶(10＋7)(10－7)⑷(6－2)²＋12÷2二次根式的运算规律与整式的运算规律相同，且多项式乘法法则和乘法公式仍然适用.注意将结果化为最简二次根式.解：⑴(6＋8)×3＝6×3＋8×3＝18＋24＝32＋26⑵(46－32)÷22＝46÷22－32÷22＝23－32⑶(10＋7)(10－7)＝(10)²－(7)²＝10－7＝3⑷(6－2)²＋12÷2＝(6)²－46＋4＋6＝10－361、利用二次根式的定义求所含字母的取值范围.确定二次根式中字母的取值范围，关键是根据二次根式的被开方数是非负数，建立关于被开方数（式）的不等式（组），通过解不等式（组）确定字母的取值范围.例1：当x取何值时，下列各式有意义？⑴5－2x⑵(3x－1)²⑶x＋3－1－2x⑷3x－2＋x＋4解决这类问题，既要考虑到二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，又要考虑到分式有意义的条件，即分母不为零.把所有的条件都列成式子，组成不等式（组），解之即可.解：⑴当5－2x≥0，即x≤52时，5－2x有意义.⑵∵x取任意实数时，均有(3x－1)²≥0当x取任意实数时，(3x－1)²均有意义.⑶由x＋3≥0且1－2x≥0，得－3≤x≤12当－3≤x≤12时，x＋3－1－2x有意义.⑷由分式3x－2有意义，得x－2≠0，解得x≠2；由二次根式x＋4有意义，得x＋4≥0，解得x≥－4.当x≥－4且x≠2时，3x－2＋x＋4有意义.2、利用二次根式的非负性化简或计算.二次根式(a≥0)是一个非负数，a也是非负数.因此，我们可以利用二次根式的两个非负性来建立数学模型，若式子中含有多个二次根式，则字母的取值应确保二次根式中的被开方数都是非负数，最后利用非负性来建立方程或不等式（组），从而使问题获得解决.a例2：已知与互为相反数，求(x－y)²的平方根.x－y＋3x＋y－1由题意建立等式建立数学模型获得结果利用二次根式的非负性求出x、y的值(x－y)²的平方根为±3y＝2x＝－1解得：x－y＋3＝0x＋y－1＝0解：∵x－y＋3与x＋y－1互为相反数(x－y＋3)＋(x＋y－1)＝03、利用二次根式的性质1分解因式.根据二次根式的性质1可知实数范围内任何一个非负数都可以写成它的算术平方根的平方的形式，从而可以使因式分解在实数范围内进行.例3：在实数范围内分解因式：⑴x²－7⑵4x³－3x⑶x²－2x＋55在实数范围内分解因式⑴用平方差公式分解⑵先提取公因式，再利用平方差公式进行分解⑶用完全平方公式进行分解根据多项式的结构特征选择合适的因式分解的方法解题依据：二次根式的性质1的逆用a＝()²(a≥0)a解：⑴x²－7＝x²－(7)²＝(x＋7)(x－7)⑵4x³－3x＝x(4x²－3)＝x(2x＋3)(2x－3)⑶x²－25x＋5＝x²－25x＋(5)²＝(x－5)²4、巧用二次根式乘除法公式简化计算过程.在有些二次根式乘除运算中，当二次根式不是最简二次根式时，若逐一将每个二次根式化成最简二次根式，再按前后顺序计算，则运算过程变得很繁.若灵活运用二次根式的乘除法公式，则使运算过程变得简单.例4：计算⑴1418×8136×23412⑵45÷35×32223⑴是几个二次根式相乘，可以把所有的非二次根式因式在一起相乘，所有的二次根式因式在一起相乘.⑵可从左往右依次计算.解：⑴1418×8136×23412＝(14×8×23)18×136×92＝4394＝43×32＝2⑵45÷35×32223＝(1÷3×32)45÷5×83＝1224＝12×26＝65、利用二次根式的概念求值.同类二次根式的概念与同类项类似，几个根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，而与根号前面的“系数”无关.我们利用这些特征可以求出根式中未知字母的值.例5：已知和是同类二次根式，求m、n的值.16(2m＋n)m－n－1m＋7首先把第一个二次根式化为最简二次根式，然后根据两个二次根式的根指数都是2，被开方数相同，建立数学模型——二