6.1-6.3定积分的概念与性质

高等数学（二）第六章定积分第一节定积分的概念二.定积分的定义一.曲边梯形的面积三.定积分的性质第一节定积分的概念和性质在我国古代南北朝（公元429—500年）时，南朝的科学家祖冲之运用逐渐增加圆内多边形的边数，算出正多边形的面积，逼近相应的圆的面积，得到了π近似值.在初等几何中，计算任意多边形面积时，常采用如下方法：首先将任意多边形划分为若干个小三角形，分别计算各个三角形的面积，然后求和，得到任意多边形的面积。阿基米德运用这种思想，求得抛物线与x轴及直线x=1所围成的平面图形面积的近似值.2xy就是说，在计算复杂图形的面积时，可以先将它划分为若干个容易算得面积的小块，并分别求出各小块图形的面积，然后求和，即得到原图形的面积的近似值（边界线为直线时，可得精确值）.如果在上述方法中引入极限过程,会产生什么效果?一.曲边梯形的面积曲边梯形：三边为直线，其中有两边相互平行且与第三边垂直（底边），第四边是一条曲线，它与垂直于底边的直线至多有一个交点（这里不排除某直线缩成一点）.1.曲边梯形2.求曲边梯形的面积首先，我们重复阿基米德的做法：分划—代替—求和得到曲边梯形的近似值，然后，引入极限过程，求出曲边梯形的精确值.Oxyab1x1ixix)(xfy,0)(xf设.]),([)(baCxf第一步：分划,1110bxxxxxxannii任意引入分点).,,2,1(],[],[1nixxnbaii个小区间成分将.1个小区间的长度表示第用ixxxiii称为区间的一个分法T第二步：代替1ixixi],,[1则iiixx.)(:iiixfS小曲边梯形面积对每个小曲边梯形均作上述的代替.的选择有关与iiSOxyab1x1ixix)(xfy第三步：求和11:().nniiiiiSSfx曲边梯形面积.T的选择有关及点与分法iS极限过程是什么？如何求精确值？Oxyab1x1ixix)(xfy第四步：取极限,}{max||||1则令inixx.)(lim:10niiixfS曲边梯形面积.T的选择无关及点与分法极限存在与否，i该过程告诉了我们求复杂平面图形面积的方法，.同时，也告知了平面图形面积的定义解决曲边梯形面积的思想方法是：.分划—代替—求和—取极限通常人们把这类方法所处理的问题的结果，即()[,].fxab这种极限值，称为函数在区间上的定积分二.定积分的定义()[,],.fxab设函数在上有定义且有界0111,iinnaxxxxxxb任意引入分点1[,][,](1,2,,).iiabnxxin将区间分成个小区间11.[,],iiiiiixxxixx用表示第个小区间的长度||||01lim(),[,]niixifxab若存在且该极限值与对区间的T,()[,],ifxab分法及点的选择无关则称函数在上可积()([,]),()[,]fxRabfxab记为极限值称为在上的定||||011:()dlim()(||||max{}).nbiiiaxinifxxfxxx积分值定积分符号：||||01()dlim().nbiiaxifxxfxba—定积分号；a—积分下限；b—积分上限；()dfxx—被积表达式；()fx—被积函数；dxx中的—积分变量；[,].ab—积分区间()积分变量的取值范围关于定积分定义的几点说明.],[)(,T),(d)()1(有关区间及只与的选择无关及点它与分法具体的数是一个极限值定积分baxfxxfiba.d)(d)(d)()2(bababattfyyfxxf号无关：定积分与积分变量的记(3)||||0,,,,||||0.xnnx时分点个数但是当分点个数时却不一定有(4),,若将非均匀变化的事物看成是均匀变化时可以表示为两个变量的乘积形式则该非均匀变化问题可以用定积分方法处理：分划—代替—求和—取极限例.变速直线运动的路程设某物体作直线运动,且求在运动时间内物体所经过的路程s.解决步骤:1)分划.将它分成在每个小段上物体经2)代替.得iiitvs)(),,2,1(ni已知速度n个小段过的路程为3)求和.4)取极限.21()dTTvtt定积分的几何意义Oxyab)(xfy1A2A3A,d)(1caxxfAcd.d)(3bdxxfA,d)(2dcxxfA由极限保号性：,0d)(caxxf,0d)(dcxxf.0d)(bdxxf面积：||||01()dlim().nbiiaxifxxfx定积分的几何意义Oxyab)(xfy1A2A3Acd,)(d)(bxaxxfyxxfba与直线等于曲线.面积的代数和轴所围成的几何图形的及xP234说明:,],[)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方法:),,1,0(nixiaxi,nabx),,1,0()(niyxfii记baxxfd)(.1xyxyxyn110)(110nnabyyy将[a,b]分成n等份:abxoyix1ix(左矩形公式))(21nnabyyy(右矩形公式)baxxfd)(.2xyxyxyn21baxxfd)(.3xyyii][2110111()()2nnbayyyyn(梯形公式)1ni为了提高精度,还可建立更好的求积公式,并有现成abxoyix1ix的数学软件可供调用.o1xyni例1.利用定义计算定积分解:将[0,1]n等分,分点为取2xy2()iiiifxx则32nio1xyniiinixf)(1niin1231)12)(1(6113nnnn)12)(11(61nniniixxx120102limdnlim312xy[注]利用注喂！请问什么样的函数可积？下面是几个关于函数可积性的定理.运用定积分的概念及定积分的几何意义,由函数的极限运算性质容易证明它们,所以我们在这里不进行证明.喂!P226定理1()([,]),()([,]).fxCabfxRab若则()[,],()fxab在上有界且仅有有限个一类,()([,]).fxRab间断点则定理2Oxyabc()([,]),|()|([,]).fxRabfxRab若则3.定理的逆不真1,,,()1.xfxx为有理数例如，为无理数定理3()([,]),[,][,],fxRabcdab若则()([,]).fxRcdOxyabcd定理4(),()([,]),fxgxRab若则(),()(),()()([,]).kfxfxgxfxgxRab定理5(k为常数）三.定积分的性质P234由于定积分是一种和式的极限,所以极限的某些性质在定积分中将有所反映.在以下的叙述中,假设所出现的函数均可积,所出现的定积分均存在.,:交换积分上、下限定积分反号()d()d.baabfxxfxx1性质()d0aafxx推论：P234证2()性质线性性质[()()]d()d()d,bbbaaafxgxxfxxgxx,.式中、为常数由定积分定义及极限运算性质：niiiixbaxgfxxgxf10||||)]()([limd)]()([niiixniiixxgxf10||||10||||)(lim)(lim.d)(d)(babaxxgxxf可以推广至有限个可积函数的情形.证3()性质保号性()0,[,],()d0.bafxxabfxx若则(小于零的情形类似.)由极限的保号性立即可知.Oxyab0A0)(xfy||||01()dlim().nbiiaxifxxfx31性质的推论()()[,],()d()d.bbaafxgxxabfxxgxx若则Oxyab)(xfy)(xgy0gfAA()()(),()0.FxfxgxFx可令则32性质的推论|()d||()|dbbaafxxfxxOxyab)(xfy|)(|xfy代数和4()性质对区间的可加性()d()d()dbcbaacfxxfxxfxx,.acb其中证()([,])()([,]),()([,]).fxRabfxRacfxRcbT,,c选择适当的分法使点成为分点则[,][,][,]()()()iiiiiiabaccbfxfxfx||||0,x取的极限由可积性即得()d()d()dbcbaacfxxfxxfxxabc当a,b,c的相对位置任意时,例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(不论a,b,c的相对位置如何,总有等式成立.5性质()1fx如果被积函数，则有()d().bafxxba证这是由于||||01dlimnbiaxixxba6()性质估值定理,()[,],,Mmfxab设分别为在上的最大最小值则()()d().bambafxxMba证.],[)(]),,([)(baxMxfmbaRxf由于baxxfd)(所以abxbadbaxmabmd)(.)(dabMxMba7()性质积分中值定理使得()d()().bafxxfbaOxyab()([,]),[,],fxCabab若则至少存在一个点)(xfy连续函数在区间上的平均值公式证:()[,],,fxabmM设在上的最小值与最大值分别为则由性质6可得根据闭区间上连续函数介值定理,[,]ab在上至少存在一使因此定理成立.说明:•可把)(d)(fabxxfba故它是有限个数的平均值概念的推广.•积分中值定理对因内容小结1.定积分的定义—乘积和式的极限2.定积分的性质3.积分中值定理矩形公式梯形公式连续函数在区间上的平均值公式近似计算01xn1n2nn1思考与练习1.用定积分表示下述极限:解:10sinlimnknnkI1n0dsin1xxnn2nn)1(0x或)(sinlim10nknnkIn110dsinxx作业P2611(2)2(1)(3)(5)3(1)