第一章. 复变函数和解析函数

《数学物理方法》电子教案李高翔吴少平第一篇复变函数导论第1章复变函数和解析函数思考：复变函数和实变函数的区别和联系。实变函数：实变量的函数。例：x,y—实变量；f(x,y)—实变函数复变函数：复变量的函数，实变函数的推广。实数→实变量→实变函数复数→复变量→复变函数1.1复数（复数的定义，几何表示，运算规则）数的扩展：正数→负数→实数在实数范围内：方程当时，没有实根。→扩大数域，引进复数02=++cbxax042−=Δacb一、复数的定义和基本概念1.定义：复数——形如z=x+iy的数（x,y为实数，21i=−，i：虚数单位）2.基本概念：x=ReZ（实部）y=ImZ（虚部）纯虚数，共轭复数（z，z*）,复数相等二、复数的表示方法1.复平面(1)直角坐标表示：在坐标平面xoy上，用点(x,y)表示复数z=x+iy→平面上的点(x,y)与复数z=x+iy一一对应。全体复数布满整个平面——复平面（或z平面）定义：x轴——实轴，y轴——虚轴从原点(0,0)出发指向点P(x,y)矢量——复矢量。(2)极坐标表示：复平面上的点用极坐标表示cossinxyρϕρϕ=⎧⎨=⎩(cossin)ziρϕϕ⇒=+（：z的模，：z的辐角）注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：02(0,1...)kkϕϕπ=+=±辐角主值：辐角：rgarg2(0,1...)Azzkkπ=+=±利用欧拉公式：cossinieiϕϕϕ=+，有(cossin)izieϕρϕϕρ=+=),(ϕρρϕ)2arg0(argπ≤zzop2.复球面复数不仅可以用平面上的点表示，还可用球面上的点表示。方法：过复平面的坐标原点作一球面与复球面相切，过o作复平面的垂线交球面于N点（北极点），作射线NP交球面于P’点，交复平面于P点，可知P’与P对应，所以以o为圆心的圆L上的点与复球面纬线L’上的点相对应，圆L内部的点与L’下方的点对应。圆L的半径，L’趋向球顶缩成一点N→复平面的无限远处对应于球面上的一点N这样，复平面的无限远处看成一个“点”——无限远点。∞→ρ三、复数的运算规则由于实数是复数的特例，故在规定其运算方法时，既应使复数运算的法则适用于实数特例时，能够和实数运算的结果相符合，又应使复数的算术运算能够满足实数算术运算的一般规律（如交换律，结合律等）。1.加法12ZZZ=+=11221212（x+iy）+（x+iy）=(x+x)+i(y+y)几何意义：1z，2z为复矢量。21zzz+=遵守平行四边形法则。这样：1212ZZZZ+≥+（两边之和不小于第三边）1212ZZZZ−≥−（一边不小于两边之差）2.减法：12ZZZ=−=11221212（x+iy）-（x+iy）=(x-x)+i(y-y)3.乘法:12ZZZ=×=⋅112212121221（x+iy）（x+iy）=(xx-yy)+i(xy+xy)1212()121212iiiZZeeeϕϕϕϕρρρρ+×==(模相乘,辐角相加)4.除法:12ZZZ⋅==+⋅1111221212211222222222222222x+iy（x+iy）（x-iy）(xx+yy)xy-xy==+ix+iy（x+iy）（x-iy）x+yx+y(分母有理化)1122()111222iiiZeeZeϕϕϕϕρρρρ−==(模相除，辐角相减)5.乘方:N个Z相乘nninZeϕρ=可得棣摩弗公式:(cossin)cossinnininϕϕϕϕ+=+6.开方:令。设，。已知，求：由，有:即w的模ρ与的模一一对应.w的辐角与的辐角不是一一对应.仅有n个不同的值满足即0z0zwzn=00zwn=ϕρiew=000ϕρiez=00,ϕρϕρ,00ϕϕρρiinnee=⎪⎩⎪⎨⎧+=→+==→=)(220000：整数knknknnnπϕϕπϕϕρρρρ0zwn=)1,1,0()2(000−===+nkezwnkninnπϕρ设1Z=11x+iy2Z22=（x+iy）,则：以下的交换律、结合律、分配律成立1221ZZZZ+=+(加法交换律)1221ZZZZ=(乘法交换律)123123()()ZZZZZZ++=++(加法结合律)123123()()ZZZZZZ=(乘法结合律)1231323()ZZZZZZZ+=+(分配律)1.2复变函数　复变函数的极限与连续一、区域关于区域严格定义所涉及到的概念：1．点a的ε邻域：以复数a为圆心，任意小的正实数ε为半径的一个开圆，即满足|z-a|ε的点的集合。点a的无心邻域：0|z-a|ε（不包含a点）2．内点：若某点的ε邻域中所有的点属于D，则该点称为D的内点。3．边界点：若某点不属于D，但其ε邻域内含有属于D的点，则该点称为D的边界点。4．外点：若某点不属于D，且其ε邻域内不含有属于D的点，则该点称为D的外点。区域的严格定义：满足如下两个条件的点集D称为区域（开区域）：(1)每一点都是内点(开集性)——对比开区间(2)任意两点都可用一条由点集D的点组成的曲线连接(连通性)开区域D:边界线L所包围的区域闭区域：开区域D+边界线LDD区域D通常用不等式表示。有关例子：()⑴|Z|R是以Z=0为圆心，R为半径的一个开圆——对比开区域D(2)|Z|=R是以Z=0为圆心，R为半径的圆周——开区域D的边界线(3)是以Z=0为圆心，R为半径的一个闭圆——闭区域RZ≤区域又可分为：单连通区域和复连通区域。如下图：(1)边界由一条闭合曲线L组成；(2)边界由两条不相连接的闭合曲线和组成；(3)边界由三条不相连接的闭合曲线，和组成。定义：连通阶数——区域不相连接的边界数目n。n=1：单连通区域n1：复连通区域1L2L1L2L3L单连通区域与复连通区域的本质区别：区域中任一闭合曲线能否连续变形而缩成一点。连续变形：变形时不能通过不属于连续变形：变形时不能通过不属于DD的区域。的区域。降低连通阶数的方法：做割线将两条边界线连接起来。用处：可将单连通区域成立的定理推广到复连通区域。二、复变函数复数→复变量→复变函数复变函数的定义定义:设E为一复数集，如果E上每一个复数z有唯一确定的w与之对应,则称在E上确定了一个单值函数。记为：w=f(z)w:z的函数；z:w的自变量(或宗量))(Ez∈因为z=x+iy，所以复变函数w的实部和虚部应是x,y的函数。即w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)——一个复变函数是两个实变函数的有序组合。这样，实变函数的许多定义、公式，定理可直接移植到复变函数中。定义：如果对于自变量Z，对应着两个或两个以上的w，则称在E上确定了一个多值函数。(将在5.2节中介绍多值函数)三、复变函数的几何意义——由z平面到w平面的映射单值实变量函数y=f(x)，可表示为平面上的一条曲线。单值复变量函数：自变量z=x+iy，复变函数w=f(z)=u+iv四个实变量：x,y,u,v不能用二维、三维空间中的几何图形表示z和f(z)办法：可用z平面上的点（x,y）表示自变量z的值，而用另一个w平面上的点（u,v）表示复变函数w=f（z）=u+iv的值。对应关系f(z)：从z平面到w平面的一个映射——复变函数的几何意义四、初等复变函数（类型，性质）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函数初等函数：以上基本初等函数经有限次四则运算及有限项复合而得到实变函数的性质：奇偶性，周期性，单调性,有限性,…对于复变函数，除了关心上述性质外，还关心：(1)实变函数的公式能否推广？(2)复变函数是否具有新的性质？1．多项式：∑==++++=nkkknnzczczczcczf02210)(……Ck:复常数n：正整数2．有理函数：)()()(22102210zQzPzfnnnnzbzbzbbzazazaa==++++++++…………ak，bk为复常数n：正整数,且分母Q(z)不为03.根式函数—多值函数（见第5章）4.指数函数性质：(1)没有零点：(2)（乘积公式）注：（A,B为算符且不对易）性质(1)、(2)证明略。(3)周期性：周期为证明：azzf−=)()sin(cosyiyeeexiyxz+==+0≠ze2121zzzzeee+=BABAeee+≠iπ2zizizieeeeie=⋅=∴=+=+πππππ22212sin2cos∵5.三角函数iz-ize-esinz=2iiz-ize+ecosz=2性质：(1)cosz为偶函数，sinz为奇函数-izize+ecos(-z)=cos2z=-izize-esin(-z)=sin2iz=−(2)周期为2π(3)遵守实变函数的三角关系式21212122sincoscossin)sin(,1sincoszzzzzzzz+=+=+(4)|cosz|和|sinz|是无界的(对比|sinx|1,|cosx|1)≤≤6.双曲函数z-ze-eshz=2z-ze+echz=2性质：(1)与三角函数的关系i(iz)-i(iz)e-eshz=-isin()2iiiz=−i(iz)-i(iz)e+echz=cos()2iz=(2)周期：2πi(3)chz：偶函数shz：奇函数(4)实变函数有关公式可推广：21212122)(,1ShzChzChzShzzzShzShzCh+=+=−7.对数函数——多值函数8.幂函数：(s为复数)sLnzsez=ziazzrglnLn+=五、复变函数的极限与连续}{nz(一)复数序列的极限1.定义：是复数序列，记作。若存在复数对于任给实数ε0，存在自然数N，当nN时，有则称以为极限。记作2.几何意义以为中心、ε为半径作一个圆，表示与的距离。定义表示，当nN时，所有的都进入圆内，ε取值足够小，对于nN的n，非常接近于，这就是序列以为极限的几何意义。,,,21nzzz}{nz0z0lim0zznzzn=→0z0zεC0zzn−nz0znzε−0zznεCnz0z}{nz0z(二)复变函数的极限1.定义：设w=f（z）是在区域D中定义的单值函数。如果任给实数ε0，若存在实数δ0，当D内的z满足δ−00zz时，有ε−0)(wzf则称f（z）当z趋于z0时有极限w0，记作：00lim()zzfzw→=2.几何意义当z在Z平面进入以z0为圆心，δ为半径的圆Cδ时,相应的()Wfz=就在W平面进入以w0为圆心，ε为半径的圆Cε内。注：这里z以任意方式趋于z0时，其极限为w0。3.性质：000lim()limlimzzzzzzfgfg→→→±=±000lim()limlimzzzzzzfgfg→→→=000limlimlimzzzzzzffgg→→→=0lim0zzg→≠(三)复变函数的连续性1.函数在某点连续的定义：设()Wfz=是在区域D中定义的单值函数，并且z0为D的内点，如果任给实数，存在实数，使得当D内的z满足时，有0()()fzfzε−即00lim()()zzfzfz→=——极限值等于函数值（求极限的一种方法）则称函数w=f(z)在点z0连续。注：极限的定义要求z以任意的方式趋于z0时，极限均为，而在实变函数中，f(x)在x=x0处的连续性仅要求x从小于x0和大于x0两个方向趋于x0时，f(x)有相同的极限值。可见在复变函数中，函数在某点连续的定义比实变函数中要求更严格。0ε0δδ−0zz)(0zf2.连续函数若f(z)在区域D内点点连续，则称它在区域D内连续，或称f(z)为连续函数。1.3复变函数的导数柯西—黎曼条件一、导数与微分1.导数的定义：设w=f(z)是在区域D中定义的单值函数，对D内某一点z，若极限存在，则称w=f(z)在点z可导，并称这个极限值为f(z)在z点的导数，记作：或或示意图zzfzzfzΔ−Δ+→Δ)()(0Lim)('zfdzdf0→Δz0zz→说明：(1)实变函数导数的定义：可见，实变函数、复变函数导数的定义形式上一样，但对于实变函数来说只能沿实轴逼近零(有两种趋近方式)。如对两种趋近方式来说，其极限存在且相同，则f(x)在x点可导；而对于复变函数来说可沿复平面的任一曲线逼近零，若沿任何