热学2

第二章平衡态系统的统计分布率(Statisticsinequilibriumsystems)第一节无序系统(disordersystem)热学系统微观运动的无规律性，使得我们不能用确定性的物理语言去描述。如果系统的微观运动是完全无序的（平衡态），它正好能用另外一套数学语言去研究。这就是概率论与数理统计。在完全无序这一假设下得到的关于微观无序系统的一些物理规律，就是平衡态系统的统计规律。判据：统计规律的宏观表现应符合试验结果。（例：状态方程，扩散方程）统计规律。微观上（单个进程）千变万化，宏观上（重复进行）有一定数值和规律的现象为统计规律。伽尔顿板实验过程：（重复）两步：(1)单个小球下落(2)多个同时下落结果：第一步，完全随机。第二步，有规律分布。如：理想气体的压强、温度、等等。例一、醉鬼问题一个最初站在一个路灯下醉鬼忽然想起来走一走，我们想知道他走了M步后离路灯的距离。基本假设：醉鬼走的方向完全不可预计。设Xi,Yi是醉鬼第i步位移在X,Y方向上的投影，在第M步后，他离路灯距离R为：21212MiiMiiYXR22122312121221......)...(MMXXXXXXXXXXXXXi完全随机，Xi与Xj完全独立。0,0jiiXXXMiiiMYXR1222)(设醉鬼的步长为1。MR221iiXY221iiXY数学讨论直观计算:0,00iiXYR(1)一维系统有道理向右走Nx步的几率:1(),()2xxxxNNNNNxNxxNxxPNCppCNNN发现醉鬼位置的平均值:21(),()2NlNNNNxxNNDlPllClNN(2)推广到二维出现错误原因:两个方向上的随机变量不独立:221iiXY此时一个方向的色散对双变量函数有重要贡献。举例：麦克斯韦速度分布麦克斯韦速率分布性质讨论统计性质。计算只能给出醉鬼平均距离。计算结果不意味肯定在的位置上找到醉鬼，而只意味着在这些位置上找到他的平均几率。这并不排除在其他位置上找到醉鬼的可能性。MR各态历经。如果有一群醉鬼同时开始游动，在位置上找到醉鬼的数目最多。它与一个醉鬼重复多次游走的结果一致。M统计误差。只用平均值不能反映醉鬼的行为，必须在计算中引入计算的不确定性。统计误差的规律：NRR/1/N为醉鬼个数。例二、布朗运动(Einstein1905,Smoluchowski1906,Langevin1908)基本图像：粒子受无序驱动力驱动在流体中运动。牛顿定律：)(622tFdtrdadtrdm对直角坐标系中任一方向，记zyxs,,)(622tFdtdsadtsdms条件：,0)(tFs22111222mBdsdsmmkTdtdt自由能均分原理a:粒子平均直径；:粘滞系数。22211132222BdxdydzEmmmkTdtdtdt介质粒子的轨迹数学技巧：2222222)(22)(dtsdsdtdsdtdssdtddtsddtddtsddtsdatsFdtdsmdtsdms)(3)()(222222做平均后=kBT做平均后=0)(622tFdtdsadtsdms222222()2dsdsdssdtdtdt牛顿方程：2222()()32BmdsdskTadtdt方程两边同乘s)1(3)(6tmaBeaTktZ解微分方程得：分析迟豫时间：173156102/6),/(1010,10smasmKggmma在1微秒以后后项可以被忽略。DttaTksB232aTkDB6Einstein扩散系数ts2和醉鬼一样令dtsdtZ)()(2得方程ZaTkdtmdZB32第二节概率论简介一、事件及其概率随机事件：随机实验中，对试验可能出现的事情称为事件。概率：在一定条件下，一系列可能发生的事件组合中，发生某一事件的机会或可能性。对事件{Ai}(i=1,2,…k)，测量总数为N,出现事件Ai的次数为N(Ai)，则事件Ai的概率为()()limiiNNAPAN必然事件：P(Ai)=1；不可能事件：P(Ai)=0；随机事件：如果0P(Ai)1。互不相容事件：一事件发生时，其他事件不可能同时发生。例：掷硬币。独立事件：一事件的发生不因其他事件是否发生而受到影响。例：二次掷硬币对于独立事件：)()(),(jijiAPAPAAP独立相容事件：)()()()()(jijijiAPAPAPAPAAP()()()ijijPAAPAPA对于互不相容事件：例一：生日问题计算n个朋友同一天生日的概率。分析：（1）平均分布；（2）独立事件。将朋友随机排序。第二个朋友与第一个朋友生日不同的概率为364/365（平均分布）；第三个朋友与前两个朋友不同生日的概率为363/365....，第n各朋友与前面的朋友生日都不同的概率为(365-n+1)/365。n个朋友生日不同的概率为：13651365...363364nn（独立事件）n个朋友至少有两个同生日的概率：13651365...3633641nn（不相容事件）24个朋友中至少有两个同生日的概率为54%。Thebesttheoriesarethosethatdonotrequiretheobservertoliveinaspecialplaceintheuniverseorataspecialtimeinhistoryinordertobetrue.例二：CopernicanprincipleBerlinWallStoryIn1969,Dr.GottvisitBerlinwallandbegintouseCopernicanprinciple.Result:in50%chancethewallwillhaveatleast8/3yearsbutnotmorethan24year.ThewallcamedownonNov.1989.1961With95%likelihood,thefutureofathingwillbetween1/39and39timesaslongasitspast.Homosapiens(200,000years)Weshouldlastatleast5100yearsbutlessthan7.8millionyears.例三：WhatinthehellhasTuesdaygottodoaboutit?NewScientist29May2010p44Simplequestion:Ihavetwochildren,whatistheprobabilityIhavetwoboys?Analysis:equalprobability,independentevent(twoboys)=(boy)(boy)1/21/21/4PPPAlittlecomplexquestion:Ihavetwochildren,oneisaboy,whatistheprobabilityIhavetwoboys?Analysis:conditionalprobabilityBB,BG,GB,GG1/3Amind-bendingquestion:Ihavetwochildren,oneisaboybornonTuesday,whatistheprobabilityIhavetwoboys?Analysis:WhenthefirstchildisaBtuandthesecondisagirlbornonanydayoftheweek:7differentprobabilities;WhenthefirstchildisagirlbornonanydayoftheweekandthesecondisBtu:7differentprobabilities;WhenthefirstchildisaBtuandthesecondisaboybornonanydayoftheweek:7probabilities;WhenthefirstchildisaboybornonanydayoftheweekandthesecondchildisaBtu,6differentprobabilities(7minusoneofovelapwiththethirdcase);P=13/271/3二、随机变量与分布函数随机变量：对一系列事件，如果一些量的数值是否出现可以表示其中某事件是否发生，则这些量称为随机变量。},,,,{:21ixxxx连续随机变量分立随机变量随机变量随机变量的分类：掷硬币，接电话醉鬼走的距离对分立随机变量{xi}，相应于某随机变量xi的概率为P(xi),其概率分布为}),(,),(),({)}({21iixPxPxPxP概率分布满足归一律：1)(iiXP1、分立随机变量随机变量的特征数值：iiixxPx)(（2）n次矩nnxxx)(（1）平均值平均值是连续变量一次矩0xxxxxx二次矩iiixxxPxx22))(()(对于二次矩有:022)(2222222xxxxxxxxxxxx它是随机变量偏离平均值的度量，又叫色散，其平方根为均方差。有意义的统计系统必须要求各次矩有限，各次矩无限的系统是复杂系统。2、连续随机变量及其分布函数的概念例如醉鬼问题。我们不能测量在距离找到醉鬼的概率，能够测量的是在随机变量区间找到醉鬼的概率。iiiRRRiR需要定义新的函数：分布函数对于连续随机变量，随机变量的个数无穷大，因而在有限次数实验中得到任何变量的概率都为0。分布函数为随机变量x处单位区间内的概率，所以分布函数又称为概率密度。0()()limxPxxxdPfxxdx以伽尔顿板实验为例设粒子总数为N，i为小槽的序号，Ni为落入第i个小槽的粒子数，Ai为落入第i个小槽的粒子所占的面积（或体积），其宽度为xi，高度为hi，则iiiiiiixhCACNN粒子落入第i个小槽的概率为iiiiiiiixhxhAANNP细化dxxdxxhdxxhNdNdp)()(dxdPdxxhxhxf)()()(令分布函数连续随机变量的特征数值平均值：dxxxfx)(对力学量G=G(x)dxxfxGG)()(归一律：1)(dxxf均方差：dxxfxxxxxx)(,22222例：平均能量dxxfx)()(简单系统:lim0N复杂系统:limN三、一些常见的分布所以出现宏观态{n1,n2}的概率为1、二项式分布（掷钱币，分配小球）体积为V的容器由隔板分为左右两部分，左边有n1个粒子，右边有n2个粒子，n1+n2=N。微观概率：粒子微观可分。若将粒子编号以区分哪n1个在左边，则共有2N中可能分布。记一个粒子在左右两边的概率分别为p、q,则n1个特定粒子在左边，n2个特定粒子在右边的概率为：21nnqp宏观分布：粒子宏观“不可分”（没有物理意义）。共有N+1种宏观分布方式：{N,0},{N-1,1},…,{1,N-1},{0,N}。从N中取出n1个粒子的方式为)!(!!111nNnNnNC111)(1nNnnNqpCnP独立事件不相容事件性质：归一1)()!(!!)(011011111NNnnNnNnNqpqpnNnNnP平均值pNqpppnPppnnPnNNnNnNN)()()(0011111111221111002212211()()[