此部分参考答案由叶博士在课余时间总结整理而成,在此对其付出的劳动表示感谢!由于整理者水平有限,加之时间仓促,难免会有错误之处,恳请读者见谅。习题二:1.证:设为X取值为k(1k)的随机变量。且()kppxk证法I(通俗证法,但不严格):111()()(1)2(2)3(3)...()...(1)(2)(3)...()...()kkkkkExxpkpxkpxpxpxnpxnpxpxpxpxnpxk证法II:111111()()()()()kkkiikiikEXkpxkpxkpxkpxipxk证法III:1111111()()(()(1))()(1)(1)(1)(1)(1)()kkkkkkkEXkpxkkpXkpxkkpxkkpxkpxkpkpxkpxk2.解:(1)00(1)0()()()1111axaxaxxxaaxEYEeefxdxeedxedxdeaa3.解:边缘概率密度为:12021202,01()(,)603,01()(,)60,XYxxfxfxydyxydyyyfyfxydxxydx其它其它因为(,)()()fxyfxfy所以X,Y独立。故cov(,)cov(,)0XYYX11223001132400222221()()2()23233()()3()34513cov(,)()(())cov(,)()(())1880EXxfxdxxdxEXxdxEYyfydyydyEYydyXXEXEXYYEYEY故(,)XY的协方差矩阵为10cov(,)cov(,)18cov(,)cov(,)3080XXXYYXYY4.解:(1)22121210,1,4,2将各参数代入二维正态分布密度函数,最终得:221211(,)exp32423fxyxxyy(2)cov(,)1cov(,)12var()var()XYXYXYxYcov(,)()()()()1XYEXYEXEYEXY当Z与X独立时,有()()()EZYEZEY222()()()0,()0,()404EZaEXEYEYEZYEaXYYaEXYEYaEXYEYaa6.解:1212121211()()12121()(,)!!!!!!!knknnkknnknkkPXYnPXkYnkeeknkenenknkn12121212()121212!!(|)(|)()!knkknkknneeknkPXkYnkPXkXYnCePXYnn8.解:0()()()uxuxuxxXMuEeefxdxeedxuu22200121()XXuuEXMuEXMuDX13.解:由特征函数与矩母函数关系知:11XMuu2001()21XXuuEXMuEXMuDX14.解:1,...,nXX均相互独立。1...nXXXuuu其中1nkkXX又1,...,nXX均同分布于两点分布1201...11niuiuiuXXXuuuepepppe1niuXuppe与二项分布特征函数一致由于特征函数具有唯一性,故题设成立。15.解:(1)根据特征函数与矩母函数关系,再由第8题结论知:kkxkuiu(2)1,...,nXX相互独立。11kkzXknknkuuiu16.解:11nnkkkkkkiuaxbiuaxiubYuEeeEe(1)由条件知:1(,...,)nXX的特征函数为1(,...,)nuu,即:11...,)1(,...,)nniXuXuiXunuuEeEe令kkuau则,原式变为11...1(,...,)nniaXuaXunauauEe代入(1)式,即得:1(,...,)iubYnueauau习题三:1.解:(1)()()()()0txtEXEAtBtEAEB(2)121212222212121212(,)()()()()()()ttRttEXXEAtBAtBEttAttABBttEAEBttEAB,AB相互独立0EABEAEB又222EAEB21212(,)1Rtttt(3)121212(,),xttCttRttEXEX21212120,,(1)tXEXCttRtttt2.解:(1)()ttYttXEXtEXtt1212122112122112122112,()()()()()(),()()()()ttYttttttXXXRttEXtXtEXXXtXtttRtttttt122121121212121212,,,()()(,),ttttYYttYXXXXXXCttRttEYEYRttttRttCtt3.解:(1)1222222!00.2ln5111101120.960.08ln50.83ktttPNkekPNePNPNPNPNee(2)tENt由题设知平均每10分钟到达5位乘客。510910010101910.54205!kttkPNPNek(建议使用编程计算)15.解:(1)00!!iuiuttkkiukiuNtiukttteteNkktetuEeeeeeeekk习题四:1.解:(1),,|()!!!!1(0,1,...,)!!ststsstttknktssstsnttnkknkkknnPNkNnPNkNnkPNkNnPNnPNnstseePNkPNnkknkPNntenstsnssCknnkkttt独立增量性(2)22222102225!ktktPNeeeeek1212112141,31,2124PNNPNNPNPNe111111121212,122|1111113101PNNPNPNNPNPNPNePNe(3)平均每小时有30人到达300.560(人/分钟)根据齐次Poisson过程的到达时间间隔,1,2,...nXn是独立同分布于均值为1的指数分布的,故可有:相继到达的顾客的时间间隔大于2分钟的概率为:12tnPXee相继到达的顾客的时间间隔小于2分钟的概率为:1211tnPXee相继到达的顾客的时间间隔在1分钟到3分钟之间的概率为:1.50.50.51.5133111nnnPXPXPXeeee2.解:(1)由P47页,poisson过程自相关函数结果知:22min,ttsENNttsttsttts(2)0()001!ktssttstsktsPNNPNNPNek(3)00tstsPNNPN对,M为非负整数,使得M00()!kMMtststskktsPNPNkekM为一个有限数而当ts时,ts为一个无穷小量0()lim0!kMtstsktsek0()0limlim0!kMtstststsktsPNek由夹逼准则知,此极限为0(4)(此题参考答案可能存在一定问题)0001112TTTttTEMTENdtENdttdtTTT222000011TTTTtstsEMTENdtNdsENNdsdtTT不妨设ts则2222000011TTTTtsEMTENNdsdtttsdsdtTT32422212424TTTTT22var2TMTEMTEMT3.解:(1)对于1Nt和2Nt,可以分别求出它们的特征函数为:121211iuiuteteNNueue由于1Nt和2Nt相互独立,对于12NtNt,故其特征函数为:12121212()1iuiuNtNtiuNtiuNtNNteuEeEeEee由特征函数的唯一性知,其为强度为12的poisson过程。(2)依照上述步骤求得12NtNt的特征函数为:1212121212(1)(1)iuiuiuiuiuNtNtiuNtiuNttetetetetEeEeEeeee故不为poisson过程4.解:1122331122331233011122233330,,,,,,lim,,limhhPSshSshSshPSsSsSsfssshPsSshsSshsSshh其中111122223333212131112223330,,,,,,()()3,,0,1,0,1,0,1ssshshssshshssshsshssshhhhshPsSshsSshsSshPNNNNNNeheeheehehee故原式变为:333312330,,limshshheefssseh其中1230sss5.解:1500.3500(个/页)41.24400ttPNNPNee6.解:1PTtPTt由于T为n个过程中至少发生一件事情的时刻,故当Tt,即在[0,]t时刻内没有事件发生。11()0,...,()00nntnkkPTtPNtNtPNte1ntPTte8.解:(1)6设i为每个顾客支付的费用,则