文科导数讲义

体系构建——导数导数专题一、导数的基本概念1.平均变化率和瞬时变化率（1）平均变化率：函数y=f(x),如果自变量x在x0处有增量x，那么函数y相应地有增量y=f（x0+x）－f（x0），比值xy叫做函数y=f（x）在x0到x0+x之间的平均变化率，即xy=xxfxxf)()(00（2）瞬时变化率：当0x时，此时的xy就叫做瞬时变化率2.导数的定义如果当0x时，xy有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f′(x0)或y′|0xx。即f′（x0）=0limxxy=0limxxxfxxf)()(00。说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指0x时，xy有极限。如果xy不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）x是自变量x在x0处的改变量，0x时，而y是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：①求函数的增量y=f（x0+x）－f（x0）②求平均变化率xy=xxfxxf)()(00③取极限，得导数f’(x0)=xyx0lim体系构建——导数例1．11)(2xbaxxxxfy在1x处可导，则a2b-1例2．已知f(x)在x=a处可导，且f′(a)=b，求下列极限：（1）0(3)()lim2hfahfahh；（2）20()()limhfahfah例3．设f(x)=x|x|,则f′(0)=习题精炼：1.21yx在(1,2)内的平均变化率为（）A．3B．2C．1D．02.设函数()yfx，当自变量x由0x改变到0xx时，函数的改变量y为（）A．0()fxxB．0()fxxC．0()fxxD．00()()fxxfx3.质点运动动规律23st，则在时间(3,3)t中，相应的平均速度为（）A．6tB．96tt体系构建——导数C．3tD．9t4.223yxx在2x附近的平均变化率是____5.一直线运动的物体，从时间t到tt时，物体的位移为s，那么0limtst为（）Ａ．从时间t到tt时，物体的平均速度；Ｂ．在t时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为t时物体的速度；Ｄ．从时间t到tt时物体的平均速度奎屯王新敞新疆6.2yx在x=1处的导数为（）A．2xB．2C．2xD．17.函数)(xf的图像是折线段ABC,其中A.B.C的坐标分别为)4,6()0,2()4,0(、、,则))0((ff，xfxfx)1()1(lim0＝.8.在高台跳水运动中,t秒时运动员相对于水面的高度为105.69.4)(2ttth,则运动员在1秒时的瞬时速度为,此时运动状态是3.导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0））处的切线的斜率是f′（x0）。相应地，切线方程为y－y0=f/（x0）（x－x0）。例1：在函数xxy83的图象上，其切线的倾斜角小于4的点中，坐标为整数的点的个数是()A．3B．2C．1D．0体系构建——导数例2：求函数3xy过点（1,1）的切线例3：已知直线kxy与xyln相切，求K的值例4：求322xy在点)5,1(P和)9,2(Q处的切线方程。4.导数的运算1．基本函数的导数公式:①0;C（C为常数）②1;nnxnx③(sin)cosxx;④(cos)sinxx;⑤();xxee⑥()lnxxaaa;⑦1lnxx;⑧1lglogaaoxexx1体系构建——导数例1：下列求导运算正确的是(B)A．(x+211)1xxB．(log2x)′=2ln1xC．(3x)′=3xlog3eD．(x2cosx)′=-2xsinx例2：设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝(C)A．xsinB．xsinC．xcosD．－xcos2．导数的运算法则若(),()uxvx的导数都存在，则：①.)'''vuvu②()ku'ku(k为常数）；③.)('''uvvuuv④()uv2''vuvvu例1：求下列函数的导数（1）xxxfcos3sin2)((2）)6)(1(xx体系构建——导数例2：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x＜0时,)()()()(xgxfxgxf＞0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是()A．(-3,0)∪(3,+∞)B．(-3,0)∪(0,3)C．(-∞,-3)∪(3,+∞)D．(-∞,-3)∪(0,3)[解析]：∵当x＜0时,)()()()(xgxfxgxf＞0，即0)]()([/xgxf∴当x＜0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，∴g(-3)=0，∴f(-3)g(-3)=0故当3x时，f(x)g(x)＜0，又f(x)g(x)是奇函数，当x0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0故当30x时，f(x)g(x)＜0故选D习题精炼：1.已知曲线3)(xxf求(1).曲线在P(1,1)处的切线方程.(2).曲线过点Q(1,0)的切线方程.(3).满足斜率为-31的切线的方程.2.求322xy在点)5,1(P和)9,2(Q处的切线方程。3.【2012高考真题陕西理7】设函数()xfxxe，则（）A.1x为()fx的极大值点B.1x为()fx的极小值点C.1x为()fx的极大值点D.1x为()fx的极小值点[学体系构建——导数4.【2012高考真题辽宁理12】若[0,)x，则下列不等式恒成立的是(A)21xexx„(B)21111241xxx(C)21cos12xx…(D)21ln(1)8xxx…5.【2012高考真题全国卷理10】已知函数y＝x²-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝（A）-2或2（B）-9或3（C）-1或1（D）-3或16.（福建理10）已知函数()xfxex，对于曲线()yfx上横坐标成等差数列的三个点A，B，C，给出以下判断：①△ABC一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A．①③B．①④C．②③D．②④7.（湖南文8）已知函数2()1,()43,xfxegxxx若有()(),fagb则b的取值范围为A．[22,22]B．(22,22)C．[1,3]D．(1,3)8.（全国Ⅰ文4）曲线2y21xx在点（1,0）处的切线方程为（A）1yx（B）1yx（C）22yx（D）22yx二、导数的应用（1）设函数)(xfy在某个区间（a，b）可导，如果'f)(x0，则)(xf在此区间上为增函数；如果'f0)(x，则)(xf在此区间上为减函数。（2）如果在某区间内恒有'f0)(x，则)(xf为常数。体系构建——导数1.函数单调性（1）简单函数单调性例1.已知函数)(xfxy的图象如图所示（其中)(xf是函数)(xf的导函数），下面四个图象中)(xfy的图象大致是()[解析]：由函数)(xfxy的图象可知：当1x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf增当01x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf减当10x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf减当1x时，)(xfx0，)(xf0，此时)(xf增故选C例2.设xaxxf3)(恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。解：13)(2axxf若0a，0)(xf对),(x恒成立，此时)(xf只有一个单调区间，矛盾若0a，01)(xf∴),(x，)(xf也只有一个单调区间，矛盾若0a∵)||31()||31(3)(axaxaxf，此时)(xf恰有三个单调区间∴0a且单调减区间为)||31,(a和),||31(a，单调增区间为)||31,||31(aa体系构建——导数例3.已知函数daxbxxxf23)(的图象过点P（0,2）,且在点M))1(,1(f处的切线方程为076yx.（Ⅰ）求函数)(xfy的解析式；（Ⅱ）求函数)(xfy的单调区间.解：（Ⅰ）由)(xf的图象经过P（0，2），知d=2，所以,2)(23cxbxxxf.23)(2cbxxxf由在))1(,1(fM处的切线方程是076yx，知.6)1(,1)1(,07)1(6fff即.3,0,32.121,623cbcbcbcbcb解得即故所求的解析式是.233)(23xxxxf（Ⅱ）.012,0363.363)(222xxxxxxxf即令解得.21,2121xx当;0)(,21,21xfxx时或当.0)(,2121xfx时故)21,(233)(23在xxxxf内是增函数，在)21,21(内是减函数，在),21(内是增函数.（2）含有参数的函数单调性例1：已知函数()lnxfxaxa，其中(1,]ae(Ⅰ)讨论()fx的单调性；(Ⅱ)求证：对12,[1,1]xx，都有12()()2fxfxe||。体系构建——导数（3）定区间上函数单调性例1：已知Raaxxxxf∈=，)29-3-(32)(2，若函数)(xf在（-1,1）内是减函数，求a的范围。体系构建——导数例2：已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f（x）的单调期间；（Ⅱ）设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的取值范围。例3：已知函数133-)(3++=xaxxxf设)(xf在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a的范围。例4已知函数aaxxaxxf232131)(，x错误!未找到引用源。其中a0.（I）求函数)(xf的单调区间；（II）若函数)(xf在区间（-2，0）内恰有两个零点，求a的取值范围；（III）当a=1时，设函数)(xf在区间]3,[tt上的最大值为M（t），最小值为m（t）,记g(t)=M(t)-m(t),求函数g(t)在区间]1,3[上的最小值。【答案】体系构建——导数体系构建——导数2.极值与最值在区间[a，b]上连续的函数f)(x在[a，b]上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如3(),(1,1)fxxx。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。（1）简单的求极值最值体系构建——导数例1：函数13)(3xxxf在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是.[解析]：由33)(2'xxf=0，得1x，当1x时，)(/xf0，当11x时，)(/xf0，当1x时，)(/xf0，故)(xf的极小值、极大值分别为1)1(3)1(ff、，而