热学3

第三章近平衡态的输运过程(Transportationprocessnearequilibrium)前两章讨论的都是系统已经达到平衡态后的性质，并不关心系统是如何从非平衡态到平衡态的。本章讨论这些过程的一个简单情况：从近平衡态到平衡态。第一节气体分子的碰撞频率与平均自由程从麦克斯韦速率分布估算的气体分子平均速率在500m/s左右，但实验中发现一种气体向另一种气体的扩散速率很慢。解释：气体扩散速率不但与气体平均速率有关，还与粒子碰撞频率有关。（醉鬼走路）。给定气体平均速率，粒子碰撞频率越高，其扩散速率越低。（一）有效碰撞截面与碰撞速度碰撞截面由于分子之间有相互作用，当分子B以相对速度向分子A靠近时，其“运动轨迹”与分子A到其入射方向的垂直距离b(称为瞄准距离）有关对有效直径分别为d1,d2的分子碰撞，（如图示）：b增大，偏折角（出射角）变小。恰好使偏折角为0的瞄准距离b=d称为分子的有效直径，以d为半径的“圆截面”称为分子的散射截面，或碰撞截面，记为2d221)(41ddu显然刚球的有效直径就是刚球的直径相对速度两粒子发生碰撞的相对速度服从牛顿定律（两体问题）：(2).(1);1221221211FFdtvdmFdtvdm0)(:)2()1(2211vmvmdtd定义质心：212211mmrmrmrc得：0)(21dtvdmmc质心运动与碰撞无关，不予考虑。1221212112)()(:)2()1(Fmmvvdtdmmmm定义折合质量：),/(2121mmmmmr相对速度：21vvu12Fdtudmr相对速度分布在同一个地方同时找到速度为),,(dzdydx21,vv两分子概率为1111112222223/2221211221112223(,,)(,,)()111exp()(2)22xyzxyzxyzxyzxyzxyzBBfvvvdvdvdvfvvvdvdvdvmmmvmvdvdvdvdvdvdvkTkT22221122121212121212222222121122121212121212222211212122112212()()()1(2)(2)1[()()]crmvmvmmmmvmummvvmmmmmmmvmvmmvvvvvvmmmmmmmvmmmvmvmvmm222122221121)(212121umvmmvmvmrc1121212221121(,)1(,)1cccvvmuvmmvvJvvmvuuvmm111222xyzxyzcxcyczxyzcxcyczxyzdvdvdvdvdvdvJdvdvdvdudududvdvdvdududu1211212211cmmvvmmmmvu2121211211cmmmvvvmumm两分子联合速度分布可写为：zyxczcycxrcBBrzyxzyxBBdudududvdvdvumvmmTkTkmmmdvdvdvddvdvvmvmTkTkmm)21)(21(1exp)2()()2121(1exp)2()(222132/3212/322211122221132/321在全空间对积分，在对可取的所有方向积分，得：cvudueuTkmduufTkumBrBr222/3242)(2/18rBmTku当21mm时，,2/mmrvu2（二）平均碰撞频率与平均自由程上面分析的目的是把一个分子与其他分子发生碰撞的过程用一个等价的过程代替。既：一个质量为的分子以平均速率在由静止分子组成的气体中运动并与之碰撞。)/(2121mmmmmru这个等价分子的运动速率满足麦克斯威分布dueuTkmduufTkumBrBr222/3242)(由于两两碰撞时完全独立的，可以把分子在单位时间里做过的轨迹拉直，形成一个有效直径d为半径的圆筒。在筒内的分子都可以与运动分子发生碰撞。tntudNcol)(2平均碰撞频率为：nvnvdnudtNZcol22/22平均自由程为：)(221TnkppTknZvBB单位体积中总碰撞次数为：22/122242221nmTkdnvdZnZBAA真空：L1/28BkTvm在时间内运动分子的平均碰撞数为：把这个分子看成是醉鬼。在它离开原地的平均距离为：)/(105.5101.6102.8389smtttZR例：N2分子在标准情况下smvmnnmd/500,/107.2,37.0325snvdZ/102.8107.25001037.014.34.129251822mZv89101.6102.8/500/步长NR（三）气体分子的自由程分布设自由程的概率密度函数为，则一个分子在行走了后不发生碰撞的几率为：)(f0)(1)(1dfP在这之后，分子又行走了没有发生碰撞的几率为d)(1dP当充分小时d0)0(,)0()(PdPdP根据定义两事件为独立事件)1))((1()(1dPdP00)],(1[)()()()P(PddPdPdP解方程得eP1)(1()1()()PddPPd概率密度函数eddPf)(由于1)()(00dedf归一化条件不能确定1,1)(00dedfef1)(平均自由程概率密度函数为（柏松分布）1)(lPlldll例题：试计算1mol理想气体中分子自由程在1到2之间的分子数及在此区间内的分子自由程的平均值。解：由分子按自由程分布的概率密度为eP1)(知，自由程在~+d的区间内的分子数为00()NdNNfded对1mol理想气体，N0=NA，则自由程在1到2之间的分子数为212121][)~(21eeNdedNNANA自由程在1~2之间的分子的自由程的平均值为2212111212121212()~(~)[]AAfdNedeeNNeeee第二节输运现象的宏观规律（一）一些基本概念驰豫在均匀且恒定的外部条件下，当热力学系统对于平衡态稍有偏离时，粒子间的相互作用（碰撞）使之向平衡态趋近的现象称为驰豫现象。输运过程在孤立系统中，由于动量、能量、质量等的传递，各部分之间的宏观相对运动、温度差异、密度差异将逐渐消失，系统将从非平衡态过渡到平衡态，这些过程统称为输运过程。输运的方式平衡条件化学热学力学扩散热传导粘滞输运方式（二）黏滞现象的宏观规律流动：层流：流线平行湍流：流线复杂，物理量的时间平均值有不规则涨落黏滞现象：流体作层流时，通过任一平行于流速的截面两侧的相邻两层流体间具有互相阻滞相对“滑动”的现象。牛顿黏滞定律稳恒流动：constant0dzdufdfd实验表明：dufSdz其中为流体的黏度、或动力黏度，也称黏滞系数，单位Nsm-2.“－”表示定向动量总是沿着流速变小的方向输运。切向动量流密度动量流：单位时间内相邻流体层之间转移的沿流体层切向的定向动量，记为：dtdP/动量流密度：单位面积上转移的动量流：SdtdPJP因为：pdPdufJSSdtdzdzduJP得：“–”表示定向动量流总是沿着流速变小的方向输运的。100K200K300KO27.68x10-61.476x10-52.071x10-5CO21.105x10-51.495x10-5CH44.03x10-67.78x10-61.116x10-5N26.98x10-61.295x10-51.786x10-5一大气压下某些气体的粘滞系数/（Pa.s）例题设有半径为R、长为L的一段管道，粘度系数为的流体在管子两段面的压强差为P=p1-p2的驱动下作稳定流动。证明（1）管中流速是轴对称，且满足的抛物线分布；（2）体积流量满足Poiseuille公式：4/8QRpL证：（1）稳定流动要求任意作用在r附近厚度为dr长为L的圆柱壳体长的压力与粘滞力达到平衡。压力：2pfprdr粘滞力：22()()22()2222vrrdrrdrrrdrdvdvffrfrdrrLrdrLdrdrdvdvdvLrLdrdrdrdrdvdvdvLrdrLdrdrdrdrpvff力学平衡：dvpdrrdrdrL得方程：边界条件：0,,/;,0rvconstdvdrconstrRv积分：2dvpCrdrLr带入边界条件：00rdvconstCdr积分：2()24ppvrrdrrCLL（2）流量：224002()28RRppQvrdrRrrdrRLL带入边界条件：220()4rRpvvRrL（三）扩散现象的宏观规律扩散过程扩散现象：当系统中粒子数密度不均匀时，由于粒子的热运动使粒子从密度高的地方迁移到密度低的地方的现象。菲克扩散定律(Fick)粒子密度梯度dzdzz0lim质量通量（或质量流）J:单位时间内通过z=z0处面元S的质量tMJtM0lim菲克扩散定律0MzzdJDSdzd其中，“-”表示质量沿密度下降（即逆密度梯度）的方向流动；D为扩散系数，单位：m2s-1。例题：两个体积都为V的容器用长为L、横截面积S很小（）的水平管连通。开始时，左边容器中充有分压强为的CO和分压强为的N2组成的混合气体，右边容器中装有压强为的纯N2。设CO向N2中扩散及N2向CO中扩散的扩散系数都为D，试求出左边容器中CO的分压强随时间变化的函数关系。VLS0pp0p解：设左、右两容器中CO的数密度分别为n1、n2，则由Fick定律知，从左边容器流向右边容器的CO的质量流率为:SLDdtdM211SLVnnDdtdn211粒子数守恒:01101212)(nnnnnnndtLVDSnndn0112201()(1)2DSLVtnnte解得2012()(1)DSLVtppte21,/iAiiNn代如上式得对应的粒子流密度p11AMNnV（三）热量传递的宏观规律热量传递的方式：传导；辐射；对流。热传导：当系统各层温度不均匀时，热量从高温传向低温区的方式称为热传导。原因：热运动。辐射传热：当两系统表面有温度差时，由于表面温度不同，发射或吸收的热辐射能量不同，致使能量从高温系统的表面向低温系统的表面迁移，这种方式称为辐射传热。原因：光子气体热运动对流传热：流体从某处吸收热量后流到别处向较冷的流体释放出热量的传热方式称为对流传热。原因：系统宏观运动热传导现象的宏观规律傅立叶传导定律：SdzdTtQH热流量（热流）“-”表示热流方向与温度梯度方向相反为热导率（热导系数），单位W/mK热流密度：单位面积的热流量dzdTh例题：一半