材料力学-拉压静不定问题

1.拉伸与压缩静不定问题概念所有的未知力均能由静力平衡方程确定的结构称为静定结构。而仅仅用平衡方程不能求得所有的未知力的结构称为静不定结构或超静定结构。静定结构静不定结构P2P123§1－7拉压静不定问题（1）静力平衡方程——力学——原有基础2、超静定问题的解法（2）变形协调方程——几何——灵活思考在静不定杆系结构中，各根杆件的变形不是随意的，必须与其所受的约束相适应，也就是说，各个变形之间要互相协调。（3）材料本构方程——物理——构筑桥梁（4）方程联立求解——代数——综合把握FNNx012:FNNNPy0123:()cos变形几何关系（变形协调方程）变形内力关系（物理方程）补充方程P1N3N2NPA未知力3个；平衡方程只有2个。P2例1两等直杆与三等直杆的受力分析这个问题就是一次静不定问题。平衡方程:例2求图示两端固定等直杆的约束反力PabEAEABAPRARB0ABPRR解：几何方程:(),BBPRRabPallEAEA物理方程:代入平衡方程解得:APaRab平衡方程:解除约束,以已知方向约束反力代替BPRll为得到变形协调方程,解除多余约束，分别考虑外力和多余约束反力产生的位移叠加设B为多余约束，此处的实际位移必须为0PBAΔlPBAΔlRRB解得:BPbRab设杆的B段有初始间隙δ，求约束反力解：几何方程:设外力在B处的位移大于初始间隙δBPRllB处的实际位移为初始间隙δPBAΔlPBAΔlRRBPabEAEABAδ物理方程:(),BBPRRabPallEAEA解得:…需根据间隙大小进行分类讨论例3木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为[]1=160MPa和[]2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa和E2=10GPa；求许可载荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:PPN24N1PyPy4N1N2解平衡方程和补充方程，得:111112222211220.0740.724EANPPEAEAEANPPEAEA11107.0APN求结构的许可载荷角钢面积由型钢表查得:A1=3.086cm222272.0APN2222/0.7225012/0.721042kNPA111/0.07308.6160/0.07705.4kNPAPP1111122222112244EANPEAEAEANPEAEAPP超静定结构的特点：超静定结构中杆件的内力按照杆件的刚度占总刚度的比例分配。即：杆的刚度越大，杆件承受的内力越大。而静定结构杆件内力仅与外力相关。例4：图示悬吊结构ABC梁刚性，各杆EA相同，求各杆内力解：1.平衡方程120220AMNaNaPa，12220NNP2.几何方程(以直代曲)122ll2l1lPACBaal12lN2N1ABCP3.物理方程1212,NlNlllEAEA补充方程与平衡方程联立解得:12255PPNN；P123解：列平衡方程1N3N2NPAFNNx012:FNNNPy0123:()cos(一次静不定)找变形协调关系（几何方程）213cosLLL例5：图示结构，三根杆的材料及横截面积为试求三杆的轴力。123cos,lllllAAA123123EEE，123AA,L3物理方程：lNlEAiiiiiNNEAEA1311332cos补充方程：333113cos21AEAEPN2113321coscos2AEAEPNN将物理方程代入几和方程得补充方程补充方程与平衡方程联立求解得P1231N3N2NPA找变形协调关系（几何方程）213cosLLL这个例题虽然是一个具体问题，但是其求解方法具有一般性，由此可归纳出：求解静不定问题的一般方法2.根据结构的约束条件画变形图,找变形协调关系,列几何方程;3.由力与变形(或温度与变形)的物理关系,列物理方程;4.联立几何方程与物理方程建立补充方程;1.画受力图,列平衡方程,判断静不定次数;5.补充方程与平衡方程联立解全部未知力.平衡方程几何方程物理方程补充方程aaaABCDP1.先解静不定2PaaaABCD2PPRARD平衡方程0,Y30ADRPR几何方程DPRLL物理方程33DPDRPaPaLEAEARaLEA联立以上4式得:33.3kN,26.7kNADRR例6：等截面刚杆，已知：横截面积A=200mm2，P=20kN。许用应力=160MPa，弹性模量E=200GPa。试校核杆的强度。aaaABCD2PPRARD2.校核杆的强度画杆的轴力图DyN(kN)26.76.733.3最大轴力max33.3kNN3maxmax633.31020010166.5MPaNA相对误差:166.5160%1604%5%结论:杆安全!33.3kN,26.7kNADRR一、温度应力在超静定结构中，由于各个杆件的变形受到相互的制约，当温度改变时，必然要在杆内引起附加应力，由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。式中：——为材料的线膨胀系数。对于无约束的杆件，当温度变化为时，杆件的变形为：21ttttltl§1－8温度应力和装配应力例图示结构，杆①、杆②均相同，当杆①温度升高度时，两杆的内力和应力为多少？EAt解（一）绘受力图如图示（设二杆均受压）12120,2,21AMNaNaNN　　　　　　列平衡方程受力图（二）绘变形几何关系图如图示22Nl即122tNNlll化简后得12222NaNataEAEA　　　由图可列出变形几何关系方程（三）求解内力和应力1244552255IIINEAtEtsNEAtEt联立（1）、（2）可解得：121221222NNNaNataEAEA　　　　　　　　　RARBLTRBLR解：1.平衡方程(共线力系)0,0ABABXRRRR得：(一次静不定)2.几何方程例：输热管道AB长为L，横截面积A，材料的弹性摸量E，热膨胀系数为α，试求：当温度升高∆T(oC)时管内的应力。(TRLL温度变形）=（再次变形）ABLLTRBLR3.物理方程4.补充方程BRLTLEA,BRTRLLLTLEA补充方程与平衡方程联立解得:ABRREAT5.温度应力ATREATETAA两个概念温度变形;再次变形2.几何方程(TRLL温度变形）=（再次变形）例两杆EA相同，水平杆为刚性杆。杆②比设计长度l短了，求安装后两杆的内力和应力。在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。二、装配应力解：（一）绘受力图，列平衡方程，根据实际情况，杆②在C点安装后，杆②受拉，杆①受压，受力图如图示。受力图一12120,20,2AMNaNaNNa　　　　根据平衡条件得：（二）绘变形几何关系图如图示122ll即：122NlNlbEAEA　　　　根据图可得变形几何关系方程为变形几何关系图一（三）求解内力和应力12225555IIIEAENllEAENll联立(a)、(b)可得：1212120,20,22AMNaNaNNaNlNlbEAEA　　　　　　　　　　　　　　　　　PPPmaxPPPmax应力集中：理论应力集中系数0maxkmax弹性力学计算实验测试（光弹性实验）§1－9应力集中概念由于结构或功能上的需要，使构件截面尺寸或形状发生突变引起的应力急剧增加的现象。对弹性体某一局部区域的外力系，若用静力等效的力系来代替；则力的作用点附近区域的应力分布将有显著改变，而对略远处其影响可忽略不计。圣文南(Saint-Venant)原理:如右图所示，根据现代力学分析方法（有限元计算方法或光弹性测试方法）的研究结果显示：由于在杆端外力作用的方式不同，将会对杆端附近处各截面的应力分布产生影响（应力非均匀分布），而对远离杆端的各个截面，影响甚小或根本没有影响。习题1-21,1-23