和差化积公式在三角函数中的综合运用(原稿)

和差化积公式在三角函数中的综合运用王永洪1(北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081)和差化积公式与积化和差公式是两角和差三角函数公式基础上利用导出的两组公式，对于和差化积公式，考虑两个同名正弦或余弦三角函数值之和或差，将两个角度表示为两个角度的和与差的形式，然后利用两角和差正余弦三角函数公式展开运算，即可得到两个角度三角值乘积的形式，如coscos，22、22，将这两个角度关系代入上式，得到coscos2sinsin22，而积化和差公式推导遵循相反的运算过程。和差化积公式是不宜机械记忆的，也没有这种必要，因为在解题中不断练习公式的推导过程，并在不同的问题中尝试运用公式另辟新解法而对公式运用达到灵巧熟练的地步。从公式的推导过程可见角度恒等式22、22是和差关系向乘积关系转化的关键，只要两角和差正余弦公式能熟练无误地运用，这两组公式便可以熟练、快速而准确的导出，因此，熟练掌握公式的推导方法比公式结果有更重要的价值。和差化积公式在实际三角函数问题中具有广泛的运用，特别是在三角求值问题中和边角关系复杂的三角形问题中，很多用两角和差三角函数公式无法解决的问题能顺利解决，还能得到更一般的结论，这无疑对探索相关一类问题的一般解法具有重要意义。下面将举例介绍和差化积与积化和差公式在三角求值问题和解斜三角形问题中的综合运用，通过不同问题的求解过程，系统地认识这两组公式在解题中的效用和适用范围。一．在三角求值问题中的运用．例1：实数,,xyz满足关系：sinsinsincoscoscos0xyazxyaz(a为正数).(Ⅰ)求证：(,,)tan()tantantanTxyzxyzxyz为定值的充要条件是1a.(Ⅱ)设2tan()(,,)(2)tantantanxyzfxyzaxyz，求这样的a，使得(,,)1fxyz.（Ⅰ）证明：（1）必要性：sinsinsincoscoscosxyazxyaz．(a)(b)(a)(b)得sinsintancoscosxyzxy，即tantan2xyz．22tantan()1tanzxyz．因此，32tan()tan3tantantan()1tan()tan13tanxyzzzxyzxyzz（1-1）1作者联系信息：北京市海淀区中关村南大街5号北京理工大学机电学院116信箱，邮编：100081。E-mail:[e-mail].一．在三角求值问题中的运用．2另外，22221tan1tan2cos()1tan1tan2xyzxyxyz．（1-2）22(a)(b)得2cos()12axy（1-3）为了书写方便，以下出现tanz的地方简记为s．由（1-2）和（1-3）得22211coscos2(1)42saxys与22211sinsin422(1)asxys．以上两式相除，得到222222sinsin4tantancoscos(4)xyaasxyxyaas.（1-4）联合（1-1）和（1-4）可得32222222(,,)tan()tantantan34.1(4)Txyzxyzxyzssaasssaas（1-5）上式为定值，则必等于0．即有2243aa．0a，则1a，必要性得证；（2）充分性：若1a，由（1-5）知(,,)tan()tantantan0Txyzxyzxyz．充分性显然成立．（Ⅱ）解：记2tantz，2ka．由（1-3）知204a，即04k.设34(,,)()(2)13(4)tkktfxyzhtktkkt，0t．2818(2)11(2)()3134(4)34kkkhttkktkk．2'222232(1)(25)1(1)88(2)()(31)[(4)](31)[(4)]kkttkhttktktktk．下面首先考虑一系列可能成为()ht在(0,)的最小值的点：00,,1ttt.对应的函数值：00(2)(4)1(0)lim()3()lim()(2)(1)134ttkkkhhthhtkhkkk，；．分别将以上各式代入不等式()1ht，解不等式组：(0)1h且()1h且(1)1h，并注意04k，得5172k.因此，152tk在函数()ht定义域中，而2110171521kkhkk，解不等式并与上述k的解集取交集得5171k，即5171a．一．在三角求值问题中的运用．3例2：设函数21()sin(2)cossin()cossin(2)sin(2).33263fxxxxxxx(Ⅰ)解关于x的不等式212()cos24fxx.(Ⅱ)定义在R上的函数()gx和常数(,)满足关系式2()()2()4gxgxfx.试求()gx一个的解析式和对应的值.解：（Ⅰ）首先化简()fx的表达式．111()sin(2)(1cos2)sin(2)sincoscos(4)23233462113sin(4)sinsin4,433481cos(4)46fxxxxxxxx212()cos24fxx，即1cos(4)cos462xx，12sin(4)sin12122x，621sin(4)2122x，1162sin(4)124x，由三角函数图像知，以上不等式等价于17115242()121212kxkkZ，于是原不等式的解为()8232kkxkZ．(Ⅱ)21221152()sin(4)cos(2)sin(2)42322424fxxxx.即115()()cos(2)sin(2)2424gxgxxx．下面说明()gx的两种不同表达式：（1）11()cos(2)24gxx，则5()sin(2)24gxx，于是38或58；（2）5()sin(2)24gxx，则11()cos(2)24gxx，于是58或38.例3：设函数()cos()fxx满足关系式：()3()sin26fxfxx，其中是与x无关的常数，且cos1.（Ⅰ）求的值.（Ⅱ）解关于x的不等式(2)33fxfxf.一．在三角求值问题中的运用．4解：设()sin(2)fxx，则sin(2)3sin(22)sin26xxx，3sin(22)2cos(2)sin()122122xx.按sin()122的两种不同取值分析如下：（1）若3sin()1222，注意sin1，得546k()kZ.此时sin(22)cos(2)122xx.即553sin()cos(2)02244244x.于是5424n()nZ，512n()nZ；（2）若3sin()1222，注意sin1，则74()6kkZ.此时sin(22)cos(2)122xx.即553cos()sin(2)02244244x.5()4242nnZ，5()12nnZ.综合（1）（2）可知5()12nnZ,可取76.待求解不等式为：71111sin(4)sin(2)sin666xx，即421cos(4)cos(2)332xx.设2cos(2)3ux，不等式化简为：21202uu，解之得154u或514u.4615coscos554，2251cos()cos554，因此，最后求解不等式：222222535nxn或426222535mxm，即28()1515nxnnZ或1114()1515mxmmZ.二．在解斜三角形问题中的综合运用.例4：ABC面积是它周长平方的112，若,,ABC表示它的三个内角,试求cotcotcot222ABC的值.二．在解斜三角形问题中的综合运用.5解：设三角形的三条对边为a，b，c由题意得211()sin122abcabC.由::sin:sin:sinabcABC得211(sinsinsin)sinsinsin122ABCABC.由于sinsinsin2sincossin2coscoscos22222ABABCABABABCC4coscoscos.222ABC于是1tantantan2223ABC，由1tantan22tancot22tantan22ABCABAB得cotcotcotcotcotcot3222222ABCABC.例5：对于任意三个在,之间的角,,，判断“coscoscos4sinsinsin1222，sinsinsin0”是“”成立的何种条件.解：这是一个充要条件，证明如下：必要性显然成立，下面说明充分性。coscos2coscos22，由coscoscos4sinsinsin1222得2coscossin(coscos)sin222222，或(cossin)(cossin)02222.而coscos()2sin()sin();2224444coscos()2cos()cos().2224444根据如上的等式关系，显然，(cossin)(cossin)02222等价于下面条件：(41)()kkZ或(41)()mmZ或(41)()nnZ或(41)()ppZ，其中后面三个关系式根据，，在原等式中位置的轮换对称性不妨设为(41)()mmZ成立.若(41)()mmZ成立，由，，,可见，当sin，sin同时为0时，sin0，这与sinsinsin0矛盾，于是sin，sin不同时为0，此时，，而sinsinsinsinsinsin()4coscoscos0222，这是与条件相矛盾的，因此，(41)()mmZ，后三种角度关系都不成立，只能是（注意，，不能同时取值）。充分性证毕。例6：ABC的三边长成等差数列，且最大角与最小角之差为120，求三角形的三边之比.二．在解斜三角形问题中的综合运用.6解：设ABC三对边为a、b、c()abc，则ABC.sinsin2sincos22ACACAC．三边长成等差数列得sinsin2sinACB,且23CA.因此2sincos2sin()23ACAC，cos13cos224AC．即1cos34A