波利亚的解题理论

波利亚的解题理论（讲稿）同学们好！今天我们大家一起来学习波利亚的解题理论。首先，让我们了解一下波利亚的生平。乔治·波利亚（GeorgePolya,1887-1985)美籍匈牙利数学家，生于匈牙利，青年时期曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根、巴黎等地攻读数学、数学、物理和哲学，1912年获数学博士学位。他是法国科学院、美国全国科学院和匈牙利科学院的院士，是20世纪举世公认的数学家和数学教育家，也是享有国际盛誉的数学方法论大师，为数学方法论的现代研究，特别是为数学解题教学研究奠定了必要的理论基础。他的成就主要包括解题理论、数学教学理论和教师教育理论，发表200多篇论文和许多专著，主要著作包括:《怎样解题》（1944）、《数学的发现》（1954）、《数学与猜想》（1961）等。其中《怎样解题》与《数学的发现》集中论述了怎样解题的问题，而《数学与猜想》则对合情推理进行了生动地、富有创造性地论述。在数学方面，对实变函数、复变函数和概率论等若干分支领域作出了开创性的贡献，留下了以他的名字命名的术语和定理。在数学解题研究领域，波利亚是一面旗帜，也是一代宗师。这里主要介绍他的解题理论。学习波利亚的解题理论，首先需要了解对“解题”过程的界定。波利亚认为，解题是智力的特殊成就，题目是数学的心脏，数学教学的本质在于教会学生解题，解题思想“应当诞生在学生心里，教师仅仅像助产士那样行事”（苏格拉底语），由此，数学教师的首要任务是发展学生解决问题的能力。为了帮助学生，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究可解题的思维过程，用朴素而现代化的形式来阐明探索法（既有助于发现的探索方法），并集几十年教学与科研之大成写成《怎样解题》一书，与1948年出版，风靡世界。其中“怎样解题”表仔细分析了求解各种数学问题时的思维过程，成为经典之作。概括的说来，“怎样解题”表是波利亚的解题理论的核心内容。所以，让我们详细学习一下“怎样解题”表。“怎样解题”表主要由四部分构成：了解问题，拟定计划，实现计划，回顾。了解问题包括①未知数是什么？已知数是什么？条件是什么？②可能满足什么条件？③画一个图，引入适当的符号拟定计划包括：你以前见过它吗？你知道什么有关的问题吗？注视未知数！试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题。这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它吗？你可以改述这个问题吗？回到定义！你若不能解决这问题，试先解一个有关的问题。你能想出一个更容易着手的有关问题吗？一个更一般的问题？一个更特殊的问题？一个类似的问题？你能解决问题的一部分吗？你用了全部条件吗？实现计划包括：实行你的解决计划，校核每一步骤。回顾包括：你能校核结果吗？你能校核结果吗？你能用不同的方法得出结果吗？你能应用这个结果或方法到别的问题上吗？在对“怎样解题”表进行分析的基础上，我们按照“怎样解题”表中的解题程序来解决一个生活中的实际问题，以此更好地体会和运用“怎样解题”进行解题。例如：有两个容积分别是4升和9升的容器，怎样从一条河中恰好取出6升水？首先我们需要弄清问题。通读这个问题，可以得到：已知数：一个4升的容器一个9升的容器需满足条件：恰好取出6升水假设：有两个具有相同底面的的圆柱形容器，其高之比为9︰4（如下图所示）再次，我问需要分析思考这个问题，拟定计划。联系我们所学知识，进行回顾联想：我们可以将大桶装满，再将大桶的水尽可能多的倒入小桶中，这样我们可以得到5升水。我们能不能得到6升？通过上面的思考，可寻找思路：设想我们面前大桶里有6升水，而小桶是空的。从前面的从前面的什么情况我们可以得到6升水？我们可以将大桶装满9升水，但必须再倒出3升水。为了做到这一点，我们的小桶中必须是1升水！因此我们想到，将水在两个桶之间倒来倒去时，我们也许已经做了类似的事情，而正是在现在这一时刻，我们想起图（2）的这种情况可由图（1）中所示的方法产生：将大桶装满，然后倒出4升水到小桶中，再将小桶中的水倒入河中。这样连续两次，我们最终遇到了某些已知的东西，并且遵循倒着干的分析方法，找到了适当的操作顺序。确实，我们已经以倒过来的次序找到了合适的顺序，剩下来要做的只是把这一过程反过来，从我们在分析中最后到达的点开始。首先，我们施行图A所示的操作，就得到了图B，然后我们过渡到图C，再过渡到图D，最后过渡到图E，沿着我们的步骤回溯上去，我们最终成功地得到了要求的东西，成功实现了计划。在上述过程中无一有些值得深思的地方。迂回前进、脱离目标、倒着干、不遵循通往目标的直接道路走，会造成某种心理上的障碍。在我们发现了适当的操作顺序后，思维必须遵循与实际操作恰好相反的次序进行。由于学生对这种逆向的顺序有一种心里上的反感，所以如果不小心地提出的话，可能会使一个相当有能力的学生都难以理解这个方法然而通过倒着干来解决一道具体题目并不需要天才，而是一种在每个人能力所及限度内的常识性程序，任何有一点常识的人都能做到。我们专注于所要求的目标，我们想象我们想要的最后位置，我们从前面哪个位置可以到达这里？提出这个问题是很自然的，而提出这个问题时我们就在倒着干了。十分初级的题目可以很自然地引导我们倒着干。波利亚的解题理论，我们今天进行了较为详细的学习，但要深入全面的了解认识运用它，还需要我们课下的加倍学习思考实践。这节课中，大家有不懂的问题，我们课下再共同探讨。谢谢！