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第4讲与函数的零点相关的问题考向分析核心整合热点精讲阅卷评析考向分析考情纵览年份考点20112012201320142015ⅠⅡⅠⅡⅠⅡ函数零点及个数问题12确定函数零点所在的区间利用导数研究函数的零点(方程的根)1221(2)21(1)真题导航1.(2015安徽卷,文4)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是()(A)y=lnx(B)y=x2+1(C)y=sinx(D)y=cosxD解析:y=lnx的定义域为(0,+∞),不关于原点对称,所以y=lnx不是偶函数;y=x2+1是偶函数,但不存在零点;y=sinx不是偶函数;y=cosx是偶函数且存在零点,故选D.2.(2015天津卷,文8)已知函数f(x)=22,2,2,2,xxxx函数g(x)=3-f(2-x),则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为()(A)2(B)3(C)4(D)5解析:由已知条件可得g(x)=3-f(2-x)=221,0,3,0.xxxx函数y=f(x)-g(x)的零点个数即为函数y=f(x)与y=g(x)图象的交点个数,在平面直角坐标系内作出函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示.由图可知函数y=f(x)与y=g(x)的图象有2个交点,所以函数y=f(x)-g(x)的零点个数为2,选A.A3.(2014新课标全国卷Ⅰ,文12)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x00,则a的取值范围是()(A)(2,+∞)(B)(1,+∞)(C)(-∞,-2)(D)(-∞,-1)解析:由题意得ax3-3x2+1=0存在唯一的正数解,a=3x-31x,设h(x)=3x-31x,x≠0,则h′(x)=-23x+43x=4311xxx,令h′(x)0得-1x0,0x1,令h′(x)0得x1或x-1,所以h(x)在(-∞,-1)上单调递减,(-1,0)上单调递增,在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且x→-∞时,h(x)→0;x→+∞时,h(x)→0,且h(1)=2,h(-1)=-2,如图,画直线y=a与h(x)只有一个交点,且x00,观察图象可得a-2.故选C.C4.(2014福建卷,文15)函数f(x)=22,0,261n,0xxxxx的零点个数是.答案:2解析:当x≤0时,令x2-2=0,解得x=-2;当x0时,f(x)=2x-6+lnx,在(0,+∞)上单调递增,因为f(1)=2-6+ln1=-40,f(3)=ln30,所以函数f(x)=2x-6+lnx在(0,+∞)上有且只有一个零点.综上,函数f(x)的零点个数为2.5.(2015湖南卷,文14)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是.解析:函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点等价于函数y=|2x-2|与y=b的图象有两个不同的交点.在同一坐标系中作出函数y=|2x-2|及y=b的图象,如图.由图可知b∈(0,2).答案:(0,2)备考指要1.怎么考对函数零点的考查主要集中在以下两个方面:一是结合函数零点的存在性定理或函数图象,对函数是否存在零点或存在零点的个数进行判断,及判断函数零点所在的区间;二是利用零点(方程实根)的存在求相关参数的值或取值范围.多以选择、填空题的形式出现,有时呈现在函数与导数的解答题里面,难度中等偏上.2.怎么办复习备考时应理解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴有交点的等价性;掌握函数零点存在性定理;注重培养函数与方程思想、数形结合的思想及等价转化思想的应用意识.核心整合函数的零点函数零点的概念对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点方程的根与函数零点的关系⇔.⇔.函数零点的存在定理图象在[a,b]上连续不断,若f(a)f(b)0,则y=f(x)在(a,b)内存在零点函数存在零点的判断方法解方程f(x)=0利用零点存在性定理数形结合方程f(x)=0有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点温馨提示(1)函数零点不是一个“点”,而是函数图象与x轴交点的横坐标.(2)当函数y=f(x)在(a,b)内有零点时,不一定有f(a)·f(b)0,例如:f(x)=x2在区间(-1,1)内有零点,却有f(1)·f(-1)0.热点精讲热点一函数零点的个数问题【例1】(1)(2015合肥模拟)若偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且在x∈[0,1]时,f(x)=x2,则关于x的方程f(x)=(110)x在[0,103]上的根的个数是()(A)1(B)2(C)3(D)4(2)(2015陕西渭南市一模)定义域为R的偶函数f(x)满足对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x2+12x-18,若函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上恰有三个零点,则a的取值范围是()(A)(0,22)(B)(0,33)(C)(0,55)(D)(55,33)解析:(1)因为f(x)为偶函数,所以当x∈[-1,0]时,-x∈[0,1],所以f(-x)=x2,即f(x)=x2.又f(x-1)=f(x+1),所以f(x+2)=f((x+1)+1)=f((x+1)-1)=f(x),故f(x)是以2为周期的周期函数,据此在同一坐标系中作出函数y=f(x)与y=(110)x在[0,103]上的图象如图所示,数形结合得两图象有3个交点,故方程f(x)=(110)x在[0,103]上有三个根.故选C.(2)因为f(x+2)=f(x)-f(1),所以f(1)=f(-1)-f(1),又因为f(x)是偶函数,所以f(1)=0.又函数f(x)是以2为周期的偶函数,函数y=f(x)-loga(x+1)在(0,+∞)上恰有三个零点可化为函数y=f(x)与y=loga(x+1)在(0,+∞)上有三个不同的交点.作函数y=f(x)与y=loga(x+1)的图象如下:结合函数图象知,log212,log412,aa解得,55a33.故选D.方法技巧(1)判断函数y=f(x)零点个数的常用方法:①直接法.令f(x)=0,则方程实根的个数就是函数零点的个数.②零点存在性定理法.判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且f(a)·f(b)0,再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)可确定函数的零点个数.③数形结合法.转化为两个函数的图象的交点个数问题.(画出两个函数的图象,其交点的个数就是函数零点的个数)(2)由函数的零点或方程的根的存在情况求参数的取值范围常用的方法:①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.②分离参数法:先将参数分离得a=f(x),再转化成求函数f(x)值域问题加以解决.③数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中,画出函数的图象,然后数形结合求解.举一反三1-1:(1)(2015北京丰台二模)函数f(x)=12x-(12)x的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(2)(2015山东枣庄三模)函数f(x)=ax+1-2a在区间(-1,1)上存在一个零点,则实数a的取值范围是.解析:(1)令f(x)=0,得12x=(12)x,在平面直角坐标系中分别画出函数y=12x与y=(12)x的图象,可得交点只有一个,所以f(x)的零点只有一个.故选B.(2)当a=0时,函数f(x)=1在(-1,1)上没有零点,所以a≠0.根据零点存在性定理可得f(-1)f(1)0,即(-3a+1)·(1-a)0,所以(a-1)(3a-1)0,解得13a1,所以实数a的取值范围是(13,1).答案:(1)B(2)(13,1)热点二确定函数零点所在的区间【例2】(1)(2014北京卷)已知函数f(x)=6x-log2x.在下列区间中,包含f(x)的零点的区间是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,4)(D)(4,+∞)(2)(2015湖南四月调研)已知函数f(x)=lnx-(12)x-2的零点为x0,则x0所在的区间是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析:(1)由函数f(x)在定义域内是减函数,又因为f(1)=6-log21=60,f(2)=3-log22=20,f(4)=32-log24=-120,所以函数f(x)的零点所在区间为(2,4),故选C.(2)因为f(x)=lnx-(12)x-2在(0,+∞)是增函数,又f(1)=ln1-(12)-1=ln1-20,f(2)=ln2-(12)00,f(3)=ln3-(12)10,所以x0∈(2,3).故选C.方法技巧确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否有f(a)•f(b)0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.提醒:在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点,在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性.举一反三2-1:(1)已知函数f(x)=lnx,则函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)(2)(2013重庆卷)若abc,则函数f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区间()(A)(a,b)和(b,c)内(B)(-∞,a)和(a,b)内(C)(b,c)和(c,+∞)内(D)(-∞,a)和(c,+∞)内解析:(1)函数f(x)的导数为f′(x)=1x,所以g(x)=f(x)-f′(x)=lnx-1x.因为g(1)=ln1-1=-10,g(2)=ln2-120,所以函数g(x)=f(x)-f′(x)的零点所在的区间为(1,2).故选B.(2)因为abc,所以f(a)=(a-b)(a-c)0,f(b)=(b-c)(b-a)0,f(c)=(c-a)(c-b)0,所以f(a)f(b)0,f(b)f(c)0,故选A.热点三利用导数解决与函数有关的方程根(函数零点)问题【例3】(2015山东卷)设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=2exx.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0平行.(1)求a的值;(2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(3)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.解:(1)由题意知,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为2,所以f′(1)=2,又f′(x)=lnx+ax+1,所以a=1.(2)k=1时,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根.设h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)lnx-2exx,当x∈(0,1]时,h(x)0,又h(2)=3ln2-24e=ln8-24e1-1=0,所以存在x0∈(1,2),使得h(x0)=0.因为h′(x)=lnx+1x+1+2exxx,所以当x∈(1,2)时,h′(x)1-1e0,当x∈(2,+∞)时,h′(x)0,所以当x∈(1,+∞)时,h(x)单调递增.所以k=1时,方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根.(3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,且x∈(0,x0)时,f(x)g(x),x∈(x0,+∞)时,f(x)g(x),所以m(x)=02011n,0,,,,.exxxxxxxx当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],m(x)≤